割中上岸arg(z-a)=0,就给出值分枝I;如果规定在割中上岸arg(z-a)=2π,就给出值 分枝Ⅱ.这两个值分枝合可来,就得到一个完整的u平面,即整个多值函数u.割中的作用 沿 就是限制z的变化方式.由于割中的多值函数的两个枝点,z=a和∝,因此,z不例能 绕一个分枝点多一值。(这时,同时围绕两个分枝点多一值还是允许的 值分枝的划分,或者说,宗量角变化图围的规定不是唯一的.例如,也可以规定 丌≤arg(z-a)<丌和π≤arg(z-a)<3π 或 3x/2≤arg(2-a)<丌/2和t/2≤arg(z-a)<5m/2 割中的作法多种多样,至不必是直中.只要割中的多值函数的分枝点,同时适当规定割中 侧(例如上岸或下岸)的宗量甲角值(或者等或地,规定在一点的宗量甲角值或函数值)即可 将多值函数划分为值分枝,其优点是,每个值分枝都是值函数,因。可以像普通的 值函数那样讨它们的解析性.值函数的分枝点是奇点,它不对应于不一个值分枝.在枝点 附近,也不存奮一个只对应于一个值分枝的值域,这种划分的:点是有一定的周限性因为它 限制宗量的角变化图围,就不能用来讨一些期较复角的。题 当时 为。克服这个:点,一种完全定函数值与自变量值对应的全法是:处定函数在某 一点的,并明确说明z的连续变路种.当沿这曲中的续变化时,函数也有之的续变 化 仍以函数=√z-1为例.规定u(2)=1,讨”z沿C1或C2的续变化到原点时,函数u之 值.C1和C2是以z=1为圆心、1为半径的上半圆周和下半圆周 显然,当z沿C1移动到z=0时,△arg(z-1)=丌,所 A argo=-4arg(a-1) () 当z沿C2移动到z=0时,△arg(z 丌,所以 =24ag(2 a(0)=e-im/2 采用这种全法,2的变化化中不因限制,因就可以一个值分枝运动到一个值分枝 在几何图形上,这相当于将两个割此的2平面完出可来 个面的割中下岸(arg(z-1)=2x)和 二个面的割中上岸(ang(z-1)=2m)相的,一个面的割中上岸(arg(-1)=0)和二个面的 割中下岸(arg(z-1)=47)相的,这就构成二叶 Riemann面(以图2.6)·对于函数=√-1或 z-a来说,二叶 Riemann面上的z点和平面上的点是一一对应的Wu Chong-shi §2.2 ❈ ❉ ✂ ✄ ☎ 28 ✆ ⑧ ✰ ✔❶ arg(z − a) = 0 ❏ ô î➨✴ ➄❞❋ ♣➩✵✼✫❩ ✭ ⑧ ✰ ✔❶ arg(z − a) = 2π ❏ ô î➨✴ ➄ ❞❋ q✴✹✑✇ ✴ ➄❞❋ ✶✤✗❏ ô① ✸ ❳ ✇➧♠✱ w ▲▼❏ø♠✇❢➄✕✖ w ✴ ⑧ ✰✱✾➊ ❏ ô★ ❬❭ z ✱ ✬➤÷❤✴❯t⑧ ✰✱✕ ✂❢➄✕✖✱✑✇❋ P ❏ z = a ❵ ∞ ❏ ➥➦❏ z ➂❷✻❸ ❇ ❳ ✇❞❋ P❈❳❉ ✂ (✹■❏➃ ■ ❦ ❇✑✇❞❋ P❈❳❉ ❱ ★❹❺✱) ✴ ✴ ➄❞❋✱r❞❏❽õö❏ ✜ð✙ ✙ ✬➤❥ ❦ ✱ ✫❩➂★ ➎ ❳ ✱✴❷ ✵❏❚✤✥✫❩ −π ≤ arg(z − a) < π ❵ π ≤ arg(z − a) < 3π, ❽ −3π/2 ≤ arg(z − a) < π/2 ❵ π/2 ≤ arg(z − a) < 5π/2. ⑧ ✰✱✾③❢➜❢➓ ❏✉✈➂❻★⑨ ✰✴❣❤⑧ ✰✱✕ ✂❢➄✕✖✱❞❋ P ❏ ➃ ■✐❍ ✫❩⑧ ✰ ❳ ❼ (❷ ✵ ✔❶❽✠❶) ✱ ✜ð✙ ✙➄ (❽õs❽ ✝❏ ✫❩ ✭ ✭❳P✱ ✜ð✙ ✙➄❽ ✕✖➄) ø ✤ ✴ ✷❢➄✕✖r❞✿✴ ➄❞❋❏ ❝❾P★❏❧✇ ✴ ➄❞❋ ✣★✴ ➄✕✖❏➥ ✢ ✤✥❿➀➠ ✱ ✴ ➄✕✖➁ ➓ ♦ ✖✜✢✱✻✼✽✴✴ ➄✕✖✱❞❋ P★❖P❏ ✜➂ ⑤ ✪t➂❳ ✇ ✴ ➄❞❋✴✭❋ P ➃➁❏❚➂ ❜✭ ❳ ✇❣⑤ ✪t❳✇ ✴ ➄❞❋✱➄✯✴✹➜r❞✱➅ P★❂ ❳❩✱➆❬✽✴➥ ✿ ✜ ❬❭✂✜ð ✱ ✙ ✙ ✬➤❥ ❦❏ ô➂✻➊ ✗♦✖❳ ✺ ➇➈✮➉✱➊➋✴ ✿✂➌➍✹✇➅ P ❏ ➎❳ ➜➧❑✛❩ ✕✖➄✒ ï ✬ð➄⑤✪❍■✱❑③ ★ ➅ ❙ì❋● w ➏➐ ➑➒ z0 ë➓❏➔→➣↔→ z ë↕➙❲❳➛➜ ✴❍ z ❸✹ ✛✰✱✲✬➤■❏✕✖ w ❚❂✓✱✲✬ ➤ ✴ ⑥ ✥ ✕✖ w = √ z − 1 ✿ ❷ ✴ ✫❩ w(2) = 1 ❏♦ ✖ z ❸ C1 ❽ C2 ✱✲✬➤✸✺ P ■❏✕✖ w ✓ ➄✴ C1 ❵ C2 ★✥ z = 1 ✿ ➝➞❻ 1 ✿ ❛➟✱ ✔❛ ➝➆ ❵✠❛ ➝➆✴ ➠ ⑦❏❍ z ❸ C1 ➡➢✸ z = 0 ■❏ ∆ arg(z − 1) = π ❏❀ ✥ ∆ arg w = 1 2 ∆ arg(z − 1) = π 2 , w(0) = eiπ/2 = i. ❍ z ❸ C2 ➡➢✸ z = 0 ■❏ ∆ arg(z − 1) = −π ❏❀✥ ∆ arg w = 1 2 ∆ arg(z − 1) = − π 2 , w(0) = e−iπ/2 = −i. ✡➊ ✹➜❑③❏z ✱ ✬➤➤ ✰ ➂➥ ❬❭❏ ➥ ✢ ô✤✥⑤❳ ✇ ✴ ➄❞❋①➢✸ ➎❳ ✇ ✴ ➄❞❋✴ ✭ ② ✶ ❀ ➒ ✔ ❏✹ ✩ ❍ t ✷✑✇ ⑧➦✱ z ▲▼➧➨✤ ✗❏ ➩❳ ✇▼✱⑧ ✰ ✠❶ (arg(z − 1) = 2π) ❵ ➩➫✇▼✱⑧ ✰ ✔❶ (arg(z − 1) = 2π) ✩ ✱❏ ➩❳ ✇▼✱⑧ ✰ ✔❶ (arg(z − 1) = 0) ❵➩➫✇▼✱ ⑧ ✰ ✠❶ (arg(z − 1) = 4π) ✩ ✱✴✹ ô➭✧ ✂ ➫➯ Riemann ▼ (✥❀ 2.6) ✴⑤ t ✕✖ w = √ z − 1 ❽ √ z − a ✗ ö ❏ ➫➯ Riemann ▼ ✔ ✱ z P❵ w ▲▼✔ ✱ P★❳❳⑤ ✪ ✱✴