§2标准形 、二次型的标准型 次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 dx2+d2x2+…+dnx2 定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1) 的形式 易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵, xi +dx dx d10 o d 0 00 反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项按上一节的讨论,经过非退化 的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1可 以叙述为 定理2在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵 定理2也就是说,对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使 成对角矩阵 二次型∫(x,x2…x)经过非退化线性替换所变成的平方和称为 f(x,x2,…,x)的标准形 例化二次型 xn)=2x x2+2x, x3-6x2 为标准形 二、配方法 1.a1≠0,这时的变量替换为§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x + d x ++ d x . （1） 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1） 的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ( ) . 0 0 0 0 0 0 , , , 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1                             = + + + n n n n n x x x d d d x x x d x d x d x           反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化 的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理 1 可 以叙述为： 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角矩阵. 二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的标准形. 例 化二次型 1 2 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , , x ) x x x x x x  n = + − 为标准形. 二、配方法 1. 0, a11  这时的变量替换为