再由 知为非齐次线性方程组Ax=B的一个特解,于是Ax=B的通解为 x-|1-42|其中k为任意常数 0 十.(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵, (1)如果A,B相似试证A,B的特征多项式相等 (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立 (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立 证(1)若A,B相似那么存在可逆矩阵P,使PAP=B,故 I AE-BI =l AE- P-API=I P-IAEP-P-lAPI =I P-(AE-A)PI=I P-II AE-AlI Pl I P-II PII AE-AIEl AE-Al (2)令A= ,那么 I AE-AIE A =I AE-Bl, 但A,B不相似否则,存在可逆矩阵P,使 PAP=B=O 从而A=POP=O,矛盾 (3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵 若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为A1,…,A,,则有 A A相似于