第五章微分与不定积分 在数学分析课程中我们知道,微分与积分具有密切的联系一方面,若f(x)在[a,b] 上连续,则对任意x∈[ab]成立f(n)dh=f(x)另一方面,若f(x)在ab]上可微 并且f(x)在[a,b是 Riemann可积的,则成立牛顿-莱布尼兹公式 f(x)dx=f(b)-f(a) 本章将利用 Lebesgue积分的理论证明对一类更一般的函数成立相应的结果.本章所讨论的 函数都是定义在区间上的实值函数(不取±∞0为值).凡本章所涉及到的可测性,测度和几乎 处处等概念都是关于 Lebesgue测度空间(R,M(R),m)而言的 §5.1单调函数的可微性 教学目的本节将证明Ⅴtali覆盖定理和单调函数的可微性定理 本节要点单调函数是最简单的函数之一,它具有一系列良好的性质 单调函数是L可积的并且几乎处处可微 Vitali覆盖定理不仅是证明单调函 数的可微性定理的基础,它本身也是一个重要的结果 设∫是定义在R的区间上的实值函数.若对任意x1,x2∈l,当x1<x2时,总有 f(x1)≤f(x2),(或f(x)≥f(x2)) 则称∫在Ⅰ上是单调增加的(相应地,单调减少的).单调增加的和单调减少的函数统称为单 调函数.若∫在I上是单调函数,则容易知道对任意x∈l,∫在x的左右单侧极限 f(x0-0)和∫(x0+0)都存在因此单调函数的间断点只能是第一类间断点 定理1设∫是定义在区间[a,6]上的单调函数,则∫的不连续点的全体至多是可数集 证明不妨只考虑∫是单调增加的情形.令 A={x:f在x点不连续} An={x:f(x+0)-f(x-0) n≥1 则A=∪4往证每个A是有限集。设x1…x∈A,不妨设x<x i=1,…,k-1.在[a,b中取50,51,…,5k使得50=a,5k=b, x<51<x+1(=1,k-1).由于∫是单调增加的,因此成立132 第五章 微分与不定积分 在数学分析课程中我们知道, 微分与积分具有密切的联系. 一方面, 若 f (x) 在[a,b] 上连续, 则对任意 x ∈[a,b] 成立 f (t)dt f (x). x a = ′       ∫ 另一方面, 若 f (x) 在[a,b]上可微, 并且 f ′(x) 在[a,b]是 Riemann 可积的, 则成立牛顿-莱布尼兹公式 f (x)dx f (b) f (a). b a ′ = − ∫ 本章将利用 Lebesgue 积分的理论证明对一类更一般的函数成立相应的结果. 本章所讨论的 函数都是定义在区间上的实值函数(不取 ± ∞ 为值). 凡本章所涉及到的可测性, 测度和几乎 处处等概念都是关于 Lebesgue 测度空间( , ( ), ) 1 1 R M R m 而言的. §5.1 单调函数的可微性 教学目的 本节将证明 Vitali 覆盖定理和单调函数的可微性定理. 本节要点 单调函数是最简单的函数之一, 它具有一系列良好的性质. 单调函数是 L 可积的并且几乎处处可微. Vitali 覆盖定理不仅是证明单调函 数的可微性定理的基础, 它本身也是一个重要的结果. 设 f 是定义在 1 R 的区间 I 上的实值函数. 若对任意 , , 1 2 x x ∈ I 当 1 2 x < x 时,总有 ( ) ( ), 1 2 f x ≤ f x (或 ( ) ( ) 1 2 f x ≥ f x ), 则称 f 在 I 上是单调增加的(相应地, 单调减少的). 单调增加的和单调减少的函数统称为单 调函数. 若 f 在 I 上是单调函数, 则容易知道对任意 , 0 x ∈ I f 在 0 x 的左右单侧极限 ( 0) f x0 − 和 ( 0) f x0 + 都存在. 因此单调函数的间断点只能是第一类间断点. 定理 1 设 f 是定义在区间[a,b]上的单调函数, 则 f 的不连续点的全体至多是可数集. 证明 不妨只考虑 f 是单调增加的情形. 令 A = {x : f 在 x点不连续}. }, 1. 1 = { : ( + 0) − ( − 0) ≥ n ≥ n A x f x f x n 则 1 . n n A A ∞ = = ∪ 往证每个 An 是有限集 . 设 , , , 1 k An x " x ∈ 不妨设 , i < i+1 x x i = 1,", k −1. 在 [a,b] 中 取 ξ ξ ξ k , , , 0 1 " 使 得 , ξ 0 = a b, ξ k = ( 1,, 1). xi < ξ i < xi+1 i = k − 由于 f 是单调增加的, 因此成立