1-m+F=2,(=1,2,…v) 易知m=∑m,n=∑n,由于G的每个分支有一个外部面,而G只有一个外部面 故G的面数r=∑-+1,于是 2w=∑(n-m+)=∑n-∑m+∑=n-m+r+-1 整理即得结论 证毕. 定理723设G是连通的平面图,且每个面的次数至少为l(≥3),则G的边数 m与顶点数n有如下关系 (n-2) 证明:由定理714可知 2m=∑deg(R)2lr 由欧拉公式可知r=2+m-n.将此式代入上式,得2m≥l(2+m-m),整理便得 结论。证毕 推论721K和K,都不是平面图。 证明:若K3是平面图,由于K5中无环边和重边,故每个面的次数至少为3, 而K的边数为10。由定理723,应有10≤ 3(5-2)=9,这是不可能的。因 此K不是平面图。 若K3是平面图,由于K3中最短圈的长度为4,故每个面的次数至少为 4,而K22的边数为9。由定理723,应有9≤(6-2)=8,这是不可能的 因此K,不是平面图。证毕 推论722Kn(n≥5)和K3n(n≥3)都不是平面图 证明:由定理712和推论72.1立即可知。 推论723K和K33都是极小非平面图 由推论721和极小非平面图的定义容易验证 定理74设G是具有w(≥)个连通分支的平面图,各面的次数至少为ll23), 则G的边数m与顶点数n有如下关系: 证明:利用欧拉公式的推广形式(定理722),与上一定理类似可证。3 定理 7.2.3 设 G 是连通的平面图，且每个面的次数至少为 l (l ≥ 3)，则 G 的边数 m 与顶点数 n 有如下关系： ( 2). 2 l m n l ≤ − − 证明：由定理 7.1.4 可知 推论 7.2.1 K5 和 K3,3 都不是平面图。 证明：若 K5 是平面图，由于 K5 中无环边和重边，故每个面的次数至少为 3， 而 K5 的边数为 10。由定理 7.2.3，应有 , 这是不可能的。因 此 K5不是平面图。 若 K3,3 是平面图，由于 K3,3 中最短圈的长度为 4，故每个面的次数至少为 4，而 K3,3的边数为 9。由定理 7.2.3，应有 , 这是不可能的。 因此 K3,3不是平面图。证毕。 推论 7.2.2 Kn (n ≥ 5)和 K3,n (n ≥ 3)都不是平面图。 证明：由定理 7.1.2 和推论 7.2.1 立即可知。 推论 7.2.3 K5 和 K3,3都是极小非平面图。 由推论 7.2.1 和极小非平面图的定义容易验证。 定理 7.2.4 设 G 是具有 w(w≥1)个连通分支的平面图, 各面的次数至少为 l(l ≥3)， 则 G 的边数 m 与顶点数 n 有如下关系： 证明：利用欧拉公式的推广形式(定理 7.2.2)，与上一定理类似可证。 1 1 1 1 11 1 2, ( 1, 2, ). ,. , , 1, 2( ) 1 i ii w w i i i i w i i w ww w i ii i i i i ii i nmr i w m mn n G G G r rw w n m r n m r nmrw = = = = == = − += = = = = −+ = − + = − + = − ++ − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ " 易知 由于 的每个分支有一个外部面 而 只有一个外部面 故 的面数 于是 整理即得结论. 证毕. 1 2 deg( ) 2 . , 2 (2 ), r i i m R lr r mn ml mn = = ≥⋅ =+ − ≥ + − ∑ 由欧拉公式可知 将此式代入上式 得 整理便得 结论。证毕。 3 10 (5 2) 9 3 2 ≤ − = − 4 9 (6 2) 8 4 2 ≤ − = − ( 1). 2 l m nw l ≤ − − −