运筹学讲义 (6)服务台空闲(排队系统中在顾客到达前没有顾客:顾客到达后不需排队等待即可接受服务) 的概率:Po=1-p; 服务台繁忙(排队系统中在顾客到达前已有顾客:顾客到达后需排队等待再接受服务)的概率 ∑pn=1-po=1-(1-p)=p 例1在火车站某一售票口,顾客到达的时间间隔服从指数分布,且平均时间间隔为20分钟;售 票口对顾客的服务时间服从指数分布,且平均服务时间为15分钟.试求此排队系统在1个小时内的下 列数量指标:(1)顾客到达后,不需排队的概率;(2)顾客多于5人的概率;(3)顾客的平均人数 (4)顾客的平均排队人数:(5)顾客的平均停留时间:(6)顾客的平均排队时间. 解:显然,这是一个M/M//∞排队模型,且A6=3,∥6=4,p==0.75 (1)p{顾客到达后,不需等待}=p{排队系统内有0个顾客}=P0=1-P=1-0.75=025 (2)p{顾客多于5人}=p3=(0.75)3=02373046875: (3)顾客的平均人数L=0=3 1-p1-0.75 (4)顾客的平均等待人数Lq=PL=0.75×3=225 (5)顾客的平均停留时间W=2=3=1 (6)顾客的平均等待时间W=pW=0.75×1=0.75. 根据排队系统的这些数量指标,管理者就可采取措施改进服务,减少顾客的排队等待时间,以提 高服务质量 Ex 1.在北京大学图书馆的某一借书窗口,学生到达的时间间隔服从指数分布,且平均时间间隔为 2分钟;窗口对学生的服务时间服从指数分布,且平均服务时间为0.75分钟.试求此排队系统在1 个小时内的下列数量指标:(1)学生到达后,不需等待的概率;(2)学生的平均人数;(3)学生的平 均等待人数:(4)学生的平均停留时间:(5)学生的平均等待时间. 2.某车间只有一台打磨机,单位时间内送达打磨机的工件的个数服从普哇松分布,且每小时送达 5人:工件的打磨时间服从指数分布,且平均打磨时间为6分钟试求此排队系统在1个小时内的下 列数量指标:(1)工件送达后,需等待的概率:(2)等待打磨的工件的个数超过2个的概率:(3)等 待打磨的工件的平均个数:(4)若此打磨机损坏,需新购一打磨机.问:新购打磨机的平均打磨时间运 筹 学 讲 义 8 （6）服务台空闲（排队系统中在顾客到达前没有顾客；顾客到达后不需排队等待即可接受服务） 的概率： p0 = 1−  ； 服务台繁忙（排队系统中在顾客到达前已有顾客；顾客到达后需排队等待再接受服务）的概率：  = − = − −  =   = 1 1 (1 ) 0 1 p p n n . 例 1 在火车站某一售票口，顾客到达的时间间隔服从指数分布，且平均时间间隔为 20 分钟；售 票口对顾客的服务时间服从指数分布，且平均服务时间为 15 分钟.试求此排队系统在 1 个小时内的下 列数量指标：（1）顾客到达后，不需排队的概率；（2）顾客多于 5 人的概率；（3）顾客的平均人数； （4）顾客的平均排队人数；（5）顾客的平均停留时间；（6）顾客的平均排队时间. 解：显然，这是一个 M / M /1/  排队模型，且 3 20 60  = = ， 4 15 60  = = ， = = 0.75    . （1） p{ 顾客到达后，不需等待 } = p{ 排队系统内有 0 个顾客 } = p0 =1−  =1− 0.75 = 0.25 ； （2） p{ 顾客多于 5 人 } (0.75) 0.2373046875 5 5 =  = = ； （3）顾客的平均人数 3 1 0.75 0.75 1 = − = − =   L ； （4）顾客的平均等待人数 Lq =  L = 0.753 = 2.25 ； （5）顾客的平均停留时间 1 3 3 = = =  L W ； （6）顾客的平均等待时间 Wq = W = 0.751 = 0.75 .▍ 根据排队系统的这些数量指标，管理者就可采取措施改进服务，减少顾客的排队等待时间，以提 高服务质量. Ex.： 1.在北京大学图书馆的某一借书窗口，学生到达的时间间隔服从指数分布，且平均时间间隔为 1.2 分钟；窗口对学生的服务时间服从指数分布，且平均服务时间为 0.75 分钟.试求此排队系统在 1 个小时内的下列数量指标：（1）学生到达后，不需等待的概率；（2）学生的平均人数；（3）学生的平 均等待人数；（4）学生的平均停留时间；（5）学生的平均等待时间. 2.某车间只有一台打磨机，单位时间内送达打磨机的工件的个数服从普哇松分布，且每小时送达 5 人；工件的打磨时间服从指数分布，且平均打磨时间为 6 分钟.试求此排队系统在 1 个小时内的下 列数量指标：（1）工件送达后，需等待的概率；（2）等待打磨的工件的个数超过 2 个的概率；（3）等 待打磨的工件的平均个数；（4）若此打磨机损坏，需新购一打磨机.问：新购打磨机的平均打磨时间