Geometric Random variables For k 1, P(X=klX >1)= P(X=k 2=1-p)k-1 2=_(1-p)k-1卫 (X>1) 2R2-2(1-p)k-1p 1 p(1-p)1-1-p =(1-p)k-2p=px(k-1) ·EXX>1]=∑=2k(X=kX>1) -夏p=+1p肉公n.+的 k=2 k三1 =1+E[X] 3Geometric Random Variables • For 𝑘 > 1, 𝑃 𝑋 = 𝑘 𝑋 > 1 = 𝑃(𝑋=𝑘) 𝑃(𝑋>1) = (1−𝑝) 𝑘−1𝑝 (1−𝑝) ∞ 𝑘−1𝑝 𝑘=2 = (1−𝑝) 𝑘−1𝑝 𝑝(1−𝑝)∙ 1 1−(1−𝑝) = (1 − 𝑝) 𝑘−2𝑝 = 𝑝𝑋(𝑘 − 1) • 𝐸 𝑋 𝑋 > 1 = 𝑘𝑃 𝑋 = 𝑘 𝑋 > 1 ∞ 𝑘=2 = 𝑘𝑝𝑋(𝑘 − 1) ∞ 𝑘=2 = (𝑘 + 1)𝑝𝑋(𝑘) ∞ 𝑘=1 = 𝑘𝑝𝑋(𝑘) ∞ 𝑘=1 + 𝑝𝑋(𝑘) ∞ 𝑘=1 = 1 + 𝐸[𝑋] 3