·466· 智能系统学报 第14卷 生C1个中心向量，这些向量的下标为 子中选择离所在子区域中心向量最近的Vol个粒 u=1,2,…Cl1。若C1>M,则从下标u=2开 子，多余的劣质粒子删除。 始，以M二己为步长依次酬除C-M个下 2)当子区域粒子数少于该子区域容量 标对应的中心向量，然后将剩下的M个中心向量 Vol时，由于情况1)中已经对劣质的粒子进行删 除，为了尽可能保证整体的优越性，所以重新初 依次作为A,=1,2,…,M。通过每个子区域的中 始化该子区域所缺数目的粒子作为该区域的粒 心向量找出该子区域的T个相邻的子区域，参考 指标为两个中心向量的余弦值。 子，增加获得较优粒子的可能性，增加粒子多样 性。然后计算新粒子的目标函数值。 2.2粒子的分类与更新 2.3连续变异操作 在对粒子进行分配时，通过参考点确定每个 粒子的方向向量。令参考点为R(1,2,…,rm),其 当只采用一种方法进行变异时，不能兼顾全 局粒子和局部粒子的特性。在MOPSO/DC中提 中r=min(f(xx∈2，i=1,2…,m,m为目标函数 出差分+柯西+高斯连续的变异策略，公式为 个数。例如：如图1所示，无和方表示两个目标 Xm=X+0.5(X1-X2) 函数，m=2,则图中粒子C的方向向量为从点 XCauchy= c)2 R(,2)指向点C的向量XX=C-R。通过比较粒子 π(X2+c(t)) (8) 方向向量和所有子区域中心向量的余弦值，确定 1 该粒子属于最大余弦值所对应的中心，向量子区域。 w g()V2元 式中：X为当前引导粒子get的位置；X,和X,是 从EPOP中随机选出的两个不同粒子的位置。这 样在变异时可保留全局粒子的一部分性质，起到 定信息交流的作用，增加了多样性。1为当前迭 代的次数，gmax为最大迭代次数，g(1)=2,gt+1)= 80-1 ;c=1,ct+1)=c0-;Xt、Xey和 XGus分别是对get的位置进行变异操作之后产生 的新粒子。每次变异后让产生的新粒子和当前 0 的ge进行比较，选择支配权优先的作为ge,然 图1粒子的方向向量 后进行后续变异操作，直到3次变异结束，最终确 Fig.1 Direction vector of the particle 定引导粒子g0 高斯变异步长较短，能很好地吸取局部粒子 在对粒子进行分配时会有以下两种特殊情况： 1)有的子区域粒子数大于子区域的容量 性质，柯西变异具有相对大的步长，能进行较大 范围的变异，具有全局范围变异的特性，这样能 Vol时，通过适应值进行取舍，适应值公式为 f=aT+CD (7) 很好地产生全新的粒子。 式中：T是Pareto支配强度，其数值为当前粒子支 下面对标准柯西分布。和标准高斯分布 配的粒子数，在适应值计算中加入了Pareto支配 y。进行对比分析，根据y和y。的单调性和对 强度T,增强每个子区域中的粒子趋向真实P℉的 称性，对其第一象限进行分析：人= π(x2+1) 能力；参数α表示支配强度对适应值的影响程度， 2 ，M指目标空间子区域数；CD为拥挤距离， p-,求反函数=衣-1和 V2π Iye x=-2n(V2y),求两反函数之差(x-x),并用y 通过每个目标函数值对粒子进行排序，序列两端 粒子在当前目标函数中的拥挤距离设为5，其他 同时替代和，即T=-1+21n(V2:对T求 粒子在当前目标函数中的拥挤距离为在序列中该 关于y的导数，即T=示+子T在@安上单 12 粒子前后两粒子的目标函数值之差的绝对值，最 后将求出的该粒子在每个目标函数中计算的拥挤 减，在会上单增，所以70>T家>1会 距离之和作为当前该粒子的拥挤距离CD。 又因为T(灵>0，所以T0)>0:所以在，和同 计算该子区域包含的粒子的适应值，从大到 时趋向于0时，x足>，即x>x,所以柯西分布在 小排序，选择序列中前30%的粒子，再从这些粒 x轴上覆盖的面积比高斯分布大。从图2中可直C m−1 h+m−1 u = 1,2,···C m−1 h+m−1 C m−1 h+m−1 > M u = 2 M −2 C m−1 h+m−1 − M C m−1 h+m−1 − M Aj 生 个中心向量，这些向量的下标为 。若 ，则从下标 开 始，以 为步长依次删除 个下 标对应的中心向量，然后将剩下的 M 个中心向量 依次作为 ，j=1, 2, ···, M。通过每个子区域的中 心向量找出该子区域的 T 个相邻的子区域, 参考 指标为两个中心向量的余弦值。 2.2 粒子的分类与更新 R(r1,r2,··· ,rm) ri = min{fi(x)|x ∈ Ω},i = 1,2,··· ,m f1 f2 R(r1,r2) 在对粒子进行分配时，通过参考点确定每个 粒子的方向向量[7]。令参考点为 ，其 中 ，m 为目标函数 个数。例如：如图 1 所示， 和 表示两个目标 函数， m=2，则图中粒子 C 的方向向量为从点 指向点 C 的向量 X，X=C−R。通过比较粒子 方向向量和所有子区域中心向量的余弦值，确定 该粒子属于最大余弦值所对应的中心，向量子区域。 在对粒子进行分配时会有以下两种特殊情况： 1 ) 有的子区域粒子数大于子区域的容 量 Vol 时，通过适应值进行取舍，适应值公式为 f = aT +CD (7) a = 2 M 式中：T 是 Pareto 支配强度，其数值为当前粒子支 配的粒子数，在适应值计算中加入了 Pareto 支配 强度 T，增强每个子区域中的粒子趋向真实 PF 的 能力；参数 a 表示支配强度对适应值的影响程度， ，M 指目标空间子区域数；CD 为拥挤距离， 通过每个目标函数值对粒子进行排序，序列两端 粒子在当前目标函数中的拥挤距离设为 5，其他 粒子在当前目标函数中的拥挤距离为在序列中该 粒子前后两粒子的目标函数值之差的绝对值，最 后将求出的该粒子在每个目标函数中计算的拥挤 距离之和作为当前该粒子的拥挤距离 CD。 计算该子区域包含的粒子的适应值，从大到 小排序，选择序列中前 30% 的粒子，再从这些粒 子中选择离所在子区域中心向量最近的 Vol 个粒 子，多余的劣质粒子删除。 2 ) 当子区域粒子数少于该子区域容 量 Vol 时，由于情况 1) 中已经对劣质的粒子进行删 除，为了尽可能保证整体的优越性，所以重新初 始化该子区域所缺数目的粒子作为该区域的粒 子，增加获得较优粒子的可能性，增加粒子多样 性。然后计算新粒子的目标函数值。 2.3 连续变异操作 当只采用一种方法进行变异时，不能兼顾全 局粒子和局部粒子的特性。在 MOPSO/DC 中提 出差分+柯西[12] +高斯[13]连续的变异策略，公式为    Xdiff = X +0.5(X1 − X2) XCauchy = c(t) 2 π(X2 +c(t) 2 ) XGauss = 1 g(t) √ 2π exp( −X 2 2 ) (8) g(1) = 2 g(t+1) = g(t)−1 gmax c(1) = 1 c(t+1) = c(t)−1 gmax Xdiff XCauchy XGauss 式中：X 为当前引导粒子 gbest 的位置；X1 和 X2 是 从 EPOP 中随机选出的两个不同粒子的位置。这 样在变异时可保留全局粒子的一部分性质，起到 一定信息交流的作用，增加了多样性。t 为当前迭 代的次数，gmax 为最大迭代次数， ， ； ， ； 、 和 分别是对 gbest 的位置进行变异操作之后产生 的新粒子。每次变异后让产生的新粒子和当前 的 gbest 进行比较，选择支配权优先的作为 gbest，然 后进行后续变异操作，直到 3 次变异结束，最终确 定引导粒子 gbest。 高斯变异步长较短，能很好地吸取局部粒子 性质，柯西变异具有相对大的步长，能进行较大 范围的变异，具有全局范围变异的特性，这样能 很好地产生全新的粒子。 yc yg yc yg yc = 1 π(x 2 +1) yg = 1 √ 2π exp(− x 2 2 ) x 2 c = 1 πyc −1 x 2 g = −2ln( √ 2πyg) (x 2 c − x 2 g ) y yc yg T = 1 πy −1+2ln( √ 2πy) y T ′ = − 1 πy 2 + 2 y (0, 1 2π ) ( 1 2π ,+∞) T(0) > T( 1 5π ) > T( 1 2π ) T( 1 5π ) > 0 T(0) > 0 yc yg x 2 c > x 2 g xc > xg 下面对标准柯西分布 和标准高斯分布 进行对比分析，根据 和 的单调性和对 称性，对其第一象限进行分析： , ，求反函数 和 ，求两反函数之差 ，并用 同时替代 和 ，即 ；对 T 求 关于 的导数，即 , T 在 上单 减，在 上单增，所以 ； 又因为 , 所以 ；所以在 和 同 时趋向于 0 时, , 即 , 所以柯西分布在 x 轴上覆盖的面积比高斯分布大。从图 2 中可直 f2 f O 1 C X R 图 1 粒子的方向向量 Fig. 1 Direction vector of the particle ·466· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷