58.3背包问题 9 1.将向题恰当地划分为若干个阶段： 2.正确地规定状态变量，使它即能描述过程的演变，又具备无后效性，并注意到每个 阶段的可能状态变量值是可以列举出来的： 3.规定决策变量，确定每个阶段的允许决策集合： 4.写出状态转移方程 5.确定各阶段各种决策的直接指标：列出计算各阶段最优子策略指标的递推方程. 根据状态转移方程和指标递推方程，按与实际过程相反的方向，从实际决策的最后阶 段向最初阶段递推，以寻求最优策略，这种作法称为逆序解法。本章例题都是采用这一解 法，顺便指出，很多问题也可以按与实际过程相同的方向逐阶段递推，寻求最优策略，这称 为顺序解法。例1和例2也都可以用顺序解法求解。 58.3背包问题 一架货运飞机，有效载重量为24t,可运输物品的重量及运费收入见表8-7，问题是选 运哪几件物品使收入最多.这类问题称为背包问题（一个徒步旅行者在他容量有限的背包 里放置哪些旅行必需品使总价值最大的问题) 表8-7 物品重量收入物品重量)收入 1 8 4 9 4 2 13 5 5 5 2 2 6 7 3 问题可以按物品依次划分为6个阶段（化=，2，，6），假定实际过程是先决定是香运 送物品6，因而求解时第飞阶段要决定是否运送物品k,状态k为飞机剩余的吨位。每 个阶段的决策变量xk可取两个值：x=0(不运)和k=1(运).第1阶段可能的状态是 1=0,124,但可以将0,17合并为一类，8,924合并为一类，因为为了运送物 品1至少需要8t剩余吨位，1=0,1，，7时能够采取的决策是相同的，即1=0.在这 一阶段万(s1,工1)=d1(s1,1).计算结果如表8-8.x一栏表示在相应状态下最优决策变 量。如果状态在8~24范围内，最优决策是运送物品1： 表8-8 51 f(s1.n1)=di(s1.r1)i f(s1) 1=0x1=1 0~7 0 0 824 0 1 3 (s1）=max{(s1,x1}=max0,3}=3,i=1(运) 第2阶段 d2(s2,0)-0,对一切s2 d2(s2,1)=5,2≥13. §8.3 ✝✁✞✠✟☛✡ 9 1. ☞✄✸✄✹✁✌✁✍✁✎✄➶✄÷✄❙✁✏✁✑✄✯✄✼✄✽; 2. ✒✁✓✁✎✄♥✄◗✄➓✄➔✁✔✁✕, ✖✁✗✄➏✄✵✄ú✄❻✄❊✄❋✄●✁✘✁✔, ✙✄➋✄➘✄➐✄Ï✄û✄➍, ❴✁✚✄ü✄❈✁✛✄✯ ✼✄✽✄●✄❖✄✵✄➓✄➔✁✔✁✕✁✜✄❛✄❖✄P✄➯✁✢✄◆✁✣✄●; 3. ♥✄◗✄→✄➉✁✔✁✕, ✓✄◗✁✛✄✯✄✼✄✽✄●✁✤✁✥✄→✄➉✁✦✁✧; 4. ❨✄◆✄➓✄➔✄❐✄❒④ ❋; 5. ✓✄◗Ý✼✄✽Ý✁★→✄➉✄●✁✩✁✪✄▼✄③; ➯✄◆✄❃✄❄Ý✼✄✽✄❅✄❍✁✫✄➉✄➊✄▼✄③✄●✰✄✱✄④❋✄ò ➥✄➦➓✄➔✄❐✄❒④ ❋✄❚✄▼✄③✰✄✱✄④❋, ✬✄Ö✄þ✄ÿ✄❊✄❋✄❝✁✭✄●④ ï, ✺✄þ✄ÿ✄→✄➉✄●✄❅✄Ï✄✼ ✽➺ï❞❅✄Ù✄✼✄✽✰✄✱, P✁✮✄❲✄❅✄❍✄➉✄➊, ✮ ★ ⑨✁✯✁✰✄❙✲✱✁✳✁✴✁✵✄ò õ✁✶✄❣✄✹✄à✄❛✁✷✁✸✄✮✄✷✄■ ✯✁ò✺✹✼✻✁▼✁◆, ✽✼✾✁✸✁✹✼✿✁❖✁P✼✬✁Ö✁þ✁ÿ✁❊✄❋✁❝✁❀✁●④ ï⑩❀✄✼✁✽✰✄✱, ✮✁❲✁❅✁❍✁➉✁➊, ✮✼✰ ❙❂❁✁✳✁✴✁✵✄ò✟❣ 1 ❚✄❣ 2 ✿✄à✄❖✄P✁✸✁✹✁❃✄■✁✯✄❲✄■✄ò §8.3 ❄❆❅❆❇❆❈ ✷✁❉✁❊✁❋✁●✁❍, ■✄û✁❏✄ø✁✕✄❙ 24t, ❖✁❋✁❑✁▲✁▼✄●✄ø✁✕✁◆✁❋✁❖✁P✁◗✁❘✄❬ 8–7, ✸✄✹✄❛✁❙ ❋✼❚✼✄✼❯✼▲✼▼✼✖✼P✼◗✁❅✼✾✁ò ✮✁❱✁✸✄✹✼✰✄❙❳❲✼❨✼❩✼❬(✷✁✯✼❭✼☎✼❪✁❂✼❫✁⑦✼❴✁❵✼✕✁■✼❛✄●✼❜✄➻ ❏✁❝✁❞✁❚✁❡✁❪✄❂✄➡✄❑✁▼✁✖✁❢✁❣✁✜✄❅✁❤✄●✄✸✄✹)ò ❬ 8–7 ▲✁▼ ø✁✕ (t) P✁◗ ▲✁▼ ø✁✕ (t) P✁◗ 1 8 3 4 9 4 2 13 5 5 5 2 3 6 2 6 7 3 ✸✄✹✄❖✄P✁✬✁▲✁▼✁✐✁❥✄➶✌÷✄❙ 6 ✯✄✼✄✽ (k =, 2, . . . , 6), ❦✄◗✄þ✄ÿ✄❊✄❋✄❛➀→✄◗✌❛✁❧♠❋ ♥ ▲♠▼ 6, ♦✌➜✌❲✌■✌❧✌✻ k ✼✌✽✌▲✌→✌◗✌❛♠❧♠❋♥ ▲♠▼ kò✟➓✌➔ sk ❙♠●♠❍✌è✌➞✌●♠♣♠q✌òr✛ ✯✌✼✌✽✌●✌→✌➉♠✔♠✕ xk ❖✌Ó✌➳✌✯♠✜:xk = 0(❵♠❋) ❚ xk = 1(❋)ò✟✻ 1 ✼✌✽✌❖✌✵✌●✌➓✌➔✌❛ s1 = 0, 1,. . .,24, ❫✌❖✌P♠☞ 0, 1,,. . .,7 ✧✌❴✌❙✌✷♠❱, 8, 9,. . .,24 ✧✌❴✌❙✌✷♠❱, ♦✌❙✌❙✌✭♠❋♥ ▲ ▼ 1 å♠s❑✌▲ 8t è✌➞♠♣♠q, s1 = 0, 1,. . .,7 ❧✌✵✌❳♠✷✌Ó✌●✌→✌➉✌❛✌❝♠❀✌●, ➏ x1 = 0ò✟⑦✌✮ ✷✄✼✄✽ f1(s1, x1) = d1(s1, x1)ò✟❃✄❄✁t✄ù✄❤✄❬ 8–8ò x ∗ 1 ✷✁✉✄❬✁✈✄⑦✄❝✁✇✄➓✄➔✄➟✄❅✄❍✄→✄➉✁✔ ✕✄ò✟❤✄ù✄➓✄➔✄⑦ 8 ∼ 24 ①✠②✁③, ❅✄❍✄→✄➉✄❛✁❋♥ ▲✁▼ 1: ❬ 8–8 s1 f1(s1, x1) = d1(s1, x1) x ∗ 1 f1(s1) x1 = 0 x1 = 1 0 ∼ 7 0 — 0 0 8 ∼ 24 0 3 1 3 f1(s1) = max{f1(s1, x1)} = max{0, 3} = 3, x ∗ 1 = 1 (❋). ✻ 2 ✼✄✽: d2(s2, 0) = 0, ✶✄✷✁④s2, d2(s2, 1) = 5, s2 ≥ 13