Bessel方程的解 第8页 89.2 Bessel方程的解 方程 d 2w 1 dw 是常见的常微分方程之一,其中v是常数,Rev≥0.容易判断,z=0是方程的正则奇点,z 是方程的非正则奇点 本节讨论 Bessel方程在z=0点的邻域|z|>0内的解.设 ≠0 代入 方程,得 c(k+p(k+p-1)2+p-2+∑(k+p)2 约去zP-2,即得 ∑(k+p)2-2]2+∑ 根据级数展开的唯一性,即可比较系数 由最低次幂z°项的系数,且因为c≠0,就得到指标方程, 因而求得 因为Rev≥0,所以Rep1≥Rep2 由z1的系数 [(+1)2-2 即 因此 0,当p≠-1/2 (9.4a) C1任意,当 (9.4b) 以后将看到,即使P=-1/2,仍可以取c1=0 由zn的系数,得 (2p+n)+cn-2=0, 因此,得到递推关系 (n+2p)Wu Chong-shi §9.2 Bessel ✡☛☞✏ ✒ 8 ✓ §9.2 Bessel ➢➤➥➦ Bessel ✿❀ d 2w dz 2 + 1 z dw dz +  1 − ν 2 z 2  w = 0 ❆sô✼s✺ñ✿❀♣❫●q r ν ❆st●Re ν ≥ 0 ✾st✌✍● z = 0 ❆✿❀✼▼◆✽✺●z = ∞ ❆✿❀✼➧▼◆✽✺✾ ❋➨✷✸ Bessel ✿❀▲ z = 0 ✺✼❖P |z| > 0 ◗✼❇✾❏ w(z) = z ρX∞ k=0 ckz k , c0 6= 0, ✣✤ Bessel ✿❀●❒ X∞ k=0 ck(k+ρ)(k+ρ−1)z k+ρ−2+ X∞ k=0 ck(k+ρ)z k+ρ−2+ X∞ k=0 ckz k+ρ−ν 2X∞ k=0 ckz k+ρ−2 = 0, ⑥➩ z ρ−2 ●✂❒ X∞ k=0 ck (k + ρ) 2 − ν 2 z k + X∞ k=0 ckz k+2 = 0. ✹❚ ➾ t ➇➈✼➫❫✻●✂❁ ✦✧Õt✾ ❑✇➊❱➹ z 0 ➘✼Õt●✈❁❑ c0 6= 0 ●Ö❒❇ ✝✞✫✬ ● ρ 2 − ν 2 = 0. ❁ ✫ ❘❒ ρ1 = ν, ρ2 = −ν. ❁❑ Re ν ≥ 0 ●✘➬ Re ρ1 ≥ Re ρ2 ✾ ❑ z 1 ✼Õt●❒ c1 (ρ + 1)2 − ν 2 = 0 ✂ c1(2ρ + 1) = 0. ❁▲ c1 = 0, Ü ρ 6= −1/2; (9.4a) c1 ✰❶, Ü ρ = −1/2. (9.4b) ➬✕ ✢➭❇●✂❐ ρ = −1/2 ●➯❁➬❝ c1 = 0 ✾ ❑ z n ✼Õt●❒ cn (ρ + n) 2 − ν 2 + cn−2 = 0 ✂ cnn(2ρ + n) + cn−2 = 0, ❁▲●❒❇ ➲➳➵➸ cn = − 1 n(n + 2ρ) cn−2.