第一章引论 高等数学是理工科各专业的基础理论课,它在生产实践和各专业领域中都有广泛的应用 因此,学好这门课程是具有十分重要意义的事情。 但是,在学习和总结这门课程的时候往往会有如下的现象发生:是感到内容太多、头绪 纷乱、无从下手;二是学后忘前,遗忘率高;三是概念、法则等发生混滑或运用时忽略前提条件 等等产生这种现象的主要原因之一是对于这门课程的基础知识还没有真正的掌握,对于它的 理论结构与层次还没有揭示出来。因此,要杜绝上述现象的发生,最重要的是要认识到掌握知 识系统、总括知识(逻辑)结构的必要性与重要性,学会构筑知识的内在逻辑结构的方法。 下面通过历史的考察与教学过程的考察来回答上述的认识问题,并通过学习阶段的考察 来回答上述的方法问题。 §1历史的考察 1.大家知道,17世纪后半期与18世纪前半期,整个数学发生了全面的、深刻的变化数学 对象产生了根本性的扩展。首先,在1637年由笛卡儿( Descartes,R.)创立了解析几何学,它构 成了高等数学的基础部分。在此基础上牛顿( Newton,l)于1665-1666年、莱布尼获(Leib niz,G.W.)于1682-1686年分别从研究物理学的瞬时速度和几何学的切线斜率的问题出发, 彼此独立地创立了微积分学。随后又产生了数学分析的其它分支如级数论与微分方程等.到 了19世纪,法国数学家柯西( Cauchy,A.L.)于1821年出版了他的《分析教程》开始用极限来 定义导数与积分。到1856年,德国数学家外尔斯特拉斯( Weierstrass,.)进一步用数学符号 E8来表达柯西的极限概念,这就是一般高等数学教程中所采用的极限定义的历史来源。此外 数学家波尔察诺( bolzano,B.)等对数学分析的奠基性工作也做出了贡献。经典分析就是这样 向着更精确、更完备的方向发展,以至到了现代分析的发展阶段。 这样漫长的经历,给高等数学带来了两个显著特征或直接结果:一是内容相当丰富;二是 理论体系中结构复杂层次繁多面临这样两个特征,我们必须掌握高等数学的知识系统,或者 说,掌握知识系统是高等数学这门学科历史发展状况的需要,是由这门学科的性质所决定的。 首先,高等数学的内容十分丰富这就要求不能简单地停留在书本上学习,而要用较高的 观点,系统、全面和有重点地去掌握其基本理论要融汇贯通、记忆深刻综合运用要做到这 点不深入到它的理论体系内部、不掌握它的知识系统是根本不可能的。 其次,高等数学理论体系具有多层次结构的特征对此我们首先做一解释:任何一↑数学系统 都有其内在层次与外在层次的区别。所谓外在层次指的是形式的表面的、局部性的数量关系及其 联系如概念的形式定义、定理所遵循的形式逻辑的证明等等。此外,在数学分析的理论体系内部, 内在关系也相当丰寫结构复杂层次重迭,这里表现出的是实质性的内在的整体性的数量关系 及其联系,称其为内在层次。在其内在层次中由于理论的展开是由简单到复杂由个别到一般由 基础性概念到抽象性更高的一般性概念的一环套一环地发展着的,所以又表现出多层次结构的特