第四章导数的应用 _1 lm 从而hm(x)=cox=e 说明:运用洛比塔法则时需要注意的问题 1在洛比塔法则中,若lm(x)不存在,不能说明lm(x)也 不存在.因此是充分而非必要的条件条件。 例如:lim 1,但是 x+sin x (x+sin x-cos xx*+(x-cos x) 1+cos x lim lim (1+cos x hsin x x++1+sin x x*+(1+sin x)" I++ cosx 2只有满足条件的不定式极限才能够运用洛比塔法则 例:im cos x 01-x≈1,不是一型不定式,以下是错误的 COS x SIn x =lim =lim x01-xx0(1-x) 3.在求极限的过程中罗比塔法则应与其他方法配合使用,以求简便: 例求极限lm( →0snxx x -sin x = lim =lim (x+sin x)(x-sin x) x sin x x sin x x+sin x sm x=2 lm x-sin d 这里提出一个极限不等于零的因子xSx问题就明显地 简化了.在最后的极限中分母x2six可以用等价无穷小量 代替,变成 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 3 1 1 cos 1 0 ) sin lim ( − − → = − e x x x x , 从而 3 1 1 cos 1 0 ) sin lim ( − − → = e x x x x . 说明：运用洛比塔法则时需要注意的问题 1 在洛比塔法则中, 若 ( ) ( ) lim g x f x   不存在，不能说明 ( ) ( ) lim g x f x 也 不存在. 因此是充分而非必要的条件条件。 例如： 1 cos sin lim = − + →+ x x x x x , 但是 ( cos ) ( sin ) lim cos sin lim −  +  = − + →+ →+ x x x x x x x x x x = =  x x x x x x x x x cos sin lim (1 sin ) (1 cos ) lim 1 sin 1 cos lim − = +  +  = + + →+ →+ →+ 2 只有满足条件的不定式极限才能够运用洛比塔法则. 例: 1 1 cos lim 0 = → − x x x ,不是 0 0 型不定式,以下是错误的： 0 1 sin lim (1 ) (cos ) lim 1 cos lim 0 0 0 = − − = −   = → − → → x x x x x x x x 3. 在求极限的过程中,罗比塔法则应与其他方法配合使用，以求简便：. 例:求极限 ) 1 sin 1 lim ( 2 2 0 x x x − → 解: ) 1 sin 1 lim ( 2 2 x 0 x x − → = = x x x x x x x x x x x x 2 2 0 2 2 2 2 0 sin ( sin )( sin ) lim sin sin lim + − = − → → x x x x x x x x x x x x x x sin sin 2 lim sin sin lim sin sin lim 2 0 2 0 0 − = + − = → → → = 3 0 sin 2 lim x x x x − → 这里提出一个极限不等于零的因子 x x x sin + sin ,问题就明显地 简化了. 在最后的极限中,分母 x sin x 2 可以用等价无穷小量 代替,变成 3 x