第四章对偶问题及对倡单纯形法 推论1和推论2的前也成立 推论3.若原问题可行，而对偶问题不可行，则原问题的目标函数值无界 推论4.若对偶问题可行，而原问题不可行，则对偶问题的目标函数值无界 三、可行解是最优解的性质 定理3.设了是原问题(1.7)的可行解可是对偶向题(1.8)的可行解若C了=6 则了和夏分别是原何题和对偶问题得最优解。 证明：只需证明对原问题的得任一可行解X都有CX≤X:对对偶问题的任一可行 解Q都有Qb2.由弱对偶性对原间题的任一可行解X有CX≤=C了，所以 CX≤C灭，可见是原问题的最优解.同样的方法可证可为对偶问题的最优解。 四、对偶定理 定理4.若原何题有最优解那么对偶问顺一定有最优解且原间顺和对偶问题的最 优目标函数值相等 证明：原阿题(1.7)的标准型的系数矩阵为A'=(4,),其中单位矩阵I为松弛变量 的系数矩阵。设下为原问题(1.7)的最优解B为其对应的基矩阵。令C=(C,0,0) 为标准型中目标函数中决策变量的系数则由最优检验准则可知最优解了对应的检验数 C-CBB-1(AI)≤0，即 C-CBB-1(A,I)=C-(CBB-1A,CB B-1)=(C-CBB-1A,-CBB-1)<0 从而 C-CBB-1A≤0，-CBB-1≤0. 令瓦=CBB-1,由上式可知瓦≥0，且C-瓦A≤0即瓦A≥C。可见瓦为对偶问题(1.8) 的可行解且对应的目标函数值为-Q-CB-b。而原问题的最优解对应的目标 函数值为之=C了 =CBB-,从而6=C,由定理3可知石为对偶问题的最优解，且 与原问题的最优目标函数值相同。 如果原问题的目标函数为“血”型，同样可证明原问题和对偶问题的最优解的目标 函数为CBB-1b. 定理5.若下为原间题(1.7)的一满足最优检验的基本解，则反=CBB-1为对偶间 题的一可行解，且这两个解的目标函数的值相同。其中B为基本解下对应的基矩阵。 由上一定理的证明易见结论成立。 从上面定理的证明可以看出，对偶问题(1.8)的最优解万=CB-1, 这怡为为原 题(1.7)最优解表中松弛变量的机会费用，或者说是原何题最优解表中松弛变量检验数 Cs-zs的负数.即 如果原问题是求目标函数值最小，对偶问题是求目标函数值最大由于原向题多余变 量的系数构成一负单位矩阵，因此对偶问题的最优解是原问题最优解表中多余变量的机 会费用s的负数，或者说是最优解表中多余变量的检验数cs-2,即6 Ö✳×✵ØÚÙ✒Û✳Ü✵Ý✒Þ✒Ù✒Û✒ß✒à✒á✳â ➆✑ 1 ❁✁➆✑ 2 ★✁➇❏ ①✩ . ❿✁➀ 3. ❆✒✼✒✸✒✹✒ÿP , ➷✒✢✒✣✒✸✒✹✒➬✒ÿP , →✼✒✸✒✹✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è✒✏➁ ✯ ❿✁➀ 4. ❆✒✢✒✣✒✸✒✹✒ÿP , ➷✒✼✒✸✒✹✒➬✒ÿP , →✢✒✣✒✸✒✹✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è✒✏➁ ✯ ➈ s✓➉✁➊✈✁➋✁➌✁➍✁✈✕✁⑥✁➎ ⑦❡ 3. ➒ X ✘✒✼✒✸✒✹ (1.7) ★✒ÿP ●, Q ✘✒✢✒✣✒✸✒✹ (1.8) ★✒ÿP ●, ❆ CX = Qb, → X ❁ Q ❻✒➭✒✘✒✼✒✸✒✹✒❁✒✢✒✣✒✸✒✹ý ➀✒ç✒●✯ ⑧✁⑨: ➏✁➐➂✳❵✢✒✼✒✸✒✹✒★ý ➃✮ ÿ P ● X ✽✒✾ CX ≤ X; ✢✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✁➃✮ ÿ P ● Q ✽❀✾ Qb ≥ Qb✯ r➑❽❀✢❀✣❀✥, ✢❀✼❀✸❀✹❀★✬➃✮ ÿ P ● X ✾ CX ≤ Qb = CX, ♦✬￾ CX ≤ CX, ÿ✁➒ X ✘✒✼✒✸✒✹✒★✒➀✒ç✒●✯ ❍✄ ★✕✁♠ÿ➂ Q ✻✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✒➀✒ç✒●✯ ➓ s⑧ò✒ô⑦❡ ⑦❡ 4. ❆❀✼❀✸❀✹❀✾❀➀❀ç❀●, ➔✬→❀✢❀✣❀✸❀✹✮ ➯❀✾❀➀❀ç❀●, ✻❀✼❀✸❀✹❀❁❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀➀ ç Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➵✒➻✯ ⑧✁⑨: ✼✒✸✒✹ (1.7) ★Ó✁➣↕✒★✒❉Õ✁❀✁❁✻ A 0 = (A, I), ✰ ❤✵⑦✒⑨❀✁❁ I ✻✁❇✁❈✁✭✒➔ ★❀❉Õ✬❀✬❁❀✯ ➒ X ✻❀✼❀✸❀✹ (1.7) ★❀➀❀ç❀●,B ✻✰ ✢❀✛❀★❀✫❀✬❁❀✯✓↔ C 0 = (C, 0, . . . , 0) ✻Ó✁➣↕✳❤ Ò◆Ó✒Ô✒Õ❤✵❐✁✫✁✭✒➔✒★✒❉Õ✒✯ → r✵➀✒ç✁↕✁➙➣→ÿ ➤➀✒ç✒● X ✢✒✛✒★✁↕✁➙Õ C 0 − CBB−1 (A, I) ≤ 0, ä C 0 − CBB −1 (A, I) = C 0 − (CBB −1A, CBB −1 ) = (C − CBB −1A, −CBB −1 ) ≤ 0, ✓ ➷ C − CBB −1A ≤ 0, −CBB −1 ≤ 0. ↔ Q = CBB−1 , r✵å✁✥✒ÿ➤ Q ≥ 0, ✻ C − QA ≤ 0 ä QA ≥ C ✯ ÿ✁➒ Q ✻✒✢✒✣✒✸✒✹ (1.8) ★❀ÿP ●✬✻❀✢❀✛❀★ Ò Ó❀Ô❀Õ❀è✻ w = Qb = CBB−1 b✯ ➷❀✼❀✸❀✹❀★❀➀❀ç❀● X ✢❀✛❀★ Ò Ó Ô✒Õ✒è✻ z = CX = CBB−1 b, ✓ ➷ Qb = CX ✯ r✵➯✔ 3 ÿ ➤ Q ✻✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✒➀✒ç✒●, ✻ ✿✼✒✸✒✹✒★✒➀✒ç Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➵✒❍✯ ❼✬✣❀✼❀✸❀✹❀★ Ò Ó❀Ô❀Õ✻ “min” ↕, ❍✄ÿ➂❛❵✼❀✸❀✹❀❁❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀➀❀ç❀●❀★ Ò Ó Ô✒Õ✻ CBB−1 b✯ ⑦❡ 5. ❆ X ✻✒✼✒✸✒✹ (1.7) ★✮➙✒➛➀✒ç✁↕✁➙✒★✒✫✒⑩✒●, → Q = CBB−1 ✻✒✢✒✣✒✸ ✹✒★✮ ÿ P ●, ✻➣✒æ✷ ●✒★ Ò◆Ó✒Ô✒Õ★è ➵✒❍✯ ✰ ❤ B ✻✒✫✒⑩✒● X ✢✒✛✒★✒✫❀✁❁✒✯ r✵å✮ ➯ ✔ ★➂✳❵✚➛➒✁❾✑ ①✩✯ ✓ å✖ ➯ ✔ ★➂❛❵ÿ✬￾ ●❋ , ✢❀✣❀✸❀✹ (1.8) ★❀➀❀ç❀● Q = CBB−1 , ➣✬➜✻❀✻❀✼❀✸ ✹ (1.7) ➀✒ç✒●✒②✳❤✚❇✁❈✁✭✒➔✒★✁➝✒➚q ✜ zs, ✼✁➞❴ ✘✒✼✒✸✒✹✒➀✒ç✒●✒②✳❤✚❇✁❈✁✭✒➔✁↕✁➙Õ cS − zS ★✁❶Õ , ä qi = zn+i . ❼✁✣✒✼✒✸✒✹✒✘❊▲Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➀✒➁, ✢✒✣✒✸✒✹✒✘❊▲Ò◆Ó✒Ô✒Õ✒è➀✒ã, r✵➺✒✼✒✸✒✹✁❉✁❊✁✭ ➔❀★❀❉Õ✬➟①✮ ❶❀⑦❀⑨❀✬❁, ➦❀➧❀✢❀✣❀✸❀✹❀★❀➀❀ç❀●❀✘❀✼❀✸❀✹❀➀❀ç❀●❀②❛❤➑❉✬❊✬✭❀➔❀★✬➝ ➚ q ✜ zS ★✁❶Õ , ✼✁➞❴ ✘✒➀✒ç✒●✒②✳❤✚❉✁❊✁✭✒➔✒★✁↕✁➙Õ cS − zS, ä qi = −zn+i