72.先验分布的确定* 11 证U(0,1)是(1,1)分布，X~b(n,),其概率分布为 p(x)= 0俨(1-0)n-x, 而9的先验分布为π(0=1，当0∈(0,1)，故有 0r(1-0)n-x π(x)= 7.2.1) 66r(1-8)n-rd0 计算积分得到 6(1-9)n-rd0= T(n-x+1)r(x+1) T(n+2) 将上式结果代入(7.2.1)，得到后验密度 T(m+2) m=Tm-正+lrz+D0e-11-)-+-1 即0的后验分布是Beta分布Be(x+l,n-x+1): (2)又若0~Be(a,b),则 0r+a-1(1-0)n-x+b-1 m0国）=69r1-0n-6-1-p-1d0 (7.2.2) 计算积分得到 o*ta-I(1-0)m-*+6-1d0=I(t+a)I(n-z+b) Jo I(n+a+b) 将上式结果代入(7.2.2)，得到后验密度 rn+a+b）一ge+a)-1(1-0)m-x+b)-1. (0)=I(x+a)T(n-x+b) 因此，样本分布若为二项分布，其参数9的共轭先验分布族为Beta分布族. 由此例可见计算后验分布时，计算边缘分布时需要算积分.下列的方法说明可 以简化后验分布的计算，省略计算边缘分布这一步骤 2.后验分布的计算 后验分布的计算公式由(7.1.1)式给出，即 x(0)=f9)m@=f0)πO fm(x) Jef(x9)π(0)d0 此处f(x0)是样本的密度函数（也称为似然函数，可以用(z)代替f(x9),π(0）是的 先验密度，fm(x)是X的边缘密度.由于fm(x)与无关，故可将1/fm(x)看成与无关 的常数，因此有 m(0z)-f()()x ()(0 (7.2.3) fm(x)7.2. k©Ÿ(½* 11 y U(0,1)¥β(1, 1)©Ÿ, X ∼ b(n, θ),ŸV«©Ÿè p(x|θ) =  n x  θ x (1 − θ) n−x , θk©Ÿèπ(θ) = 1,  θ ∈ (0, 1),k π(θ|x) = θ x (1 − θ) n−x R 1 0 θ x(1 − θ) n−xdθ . (7.2.1) O黩 Z 1 0 θ x (1 − θ) n−x dθ = Γ(n − x + 1)Γ(x + 1) Γ(n + 2) , Ú˛™(Jì\(7.2.1),￾ó› π(θ|x) = Γ(n + 2) Γ(n − x + 1)Γ(x + 1) θ (x+1)−1 (1 − θ) (n−x+1)−1 . =θ￾©Ÿ¥Beta©ŸBe(x + 1, n − x + 1). (2) qeθ ∼ Be(a, b),K π(θ|x) = θ x+a−1 (1 − θ) n−x+b−1 R 1 0 θ x(1 − θ) n−xθ a−1(1 − θ) b−1dθ . (7.2.2) O黩 Z 1 0 θ x+a−1 (1 − θ) n−x+b−1 dθ = Γ(x + a)Γ(n − x + b) Γ(n + a + b) . Ú˛™(Jì\(7.2.2),￾ó› π(θ|x) = Γ(n + a + b) Γ(x + a)Γ(n − x + b) θ (x+a)−1 (1 − θ) (n−x+b)−1 . œd,©Ÿeèë©Ÿ, ŸÎÍθ
›k©ŸxèBeta©Ÿx. dd~åÑOé￾©Ÿû, Oé>©ŸûIá黩. eê{`²å ±{z￾©ŸOé, é—Oé>©Ÿ˘ò⁄½. 2. ￾©ŸOé ￾©ŸOé˙™d(7.1.1)™â—, = π(θ|x) = f(x|θ)π(θ) fm(x) = f(x|θ)π(θ) R Θ f(x|θ)π(θ)dθ d?f(x|θ)¥ó›ºÍ(è°èq,ºÍ, å±^l(θ|x)ìOf(x|θ)) , π(θ)¥θ kó›, fm(x)¥X>ó›. dufm(x)ÜθÃ', åÚ1/fm(x)w§ÜθÃ' ~Í, œdk π(θ|x) = f(x|θ)π(θ) fm(x) ∝ f(x|θ)π(θ) (7.2.3)