提示:先设∫=l4是特征函数 14.举例说明,一族可测函数{f,:t∈l}的上确界函数∫=supf不一定可测 15.举例说明,若∫是R上的L可测函数,A是R中的L可测集,f(4)不 定是L可测集 提示:利用§31例6中的结果 6.设(X,J)是一可测空间,f(x,1)是定义在X×[O,1上的函数.若对每个 t∈[0,1,∫(x,1)对x可测,对每个x∈x,∫(x,)对t连续,证明g(x)=maxf(x,) 是可测函数 17.证明§3.1定理.7和定理8 18.设∫和g是定义在R上的两个连续函数.证明若∫和g(关于L测度)几乎处 处相等,则∫和g处处相等 19.设∫和g是(0,1)上单调减少的左连续函数.若对任意c∈R总有 m(f≥c})=m({g≥c}),证明∫(x)=g(x),x∈(0,1) 20.设∫是有限测度空间(X,,)上的ae有限的可测函数.证明对任意δ>0,存 在可测集ACX,使得m(X-A3)<δ,并且在A8上,∫有界 21.设{fn}是一列可测函数证明A={ x: lim f,(x)存在并且有限}是可测集 22.设(n)是可测函数列.证明 (1)若f->f,fn-→>g,则f=g,ae (2)若∫n—>f,n>g,则f=g,ae. 23.证明:(1)若fn->f,则fn->f (2)若∫n>f,则f-“>∫ 24.证明若∫—“>∫,则 lim f≤∫≤ lim f,,ae 25.证明若f—>f,gn-→>g,则 (2)afn>af(a是常数) (3)Jn+gn->∫+g (4)若(X)<+∞,则fngn—→88 提示: 先设 A f = I 是特征函数. 14. 举例说明, 一族可测函数{ f : t I} t ∈ 的上确界函数 t t I f f ∈ = sup 不一定可测. 15. 举例说明, 若 f 是 1 R 上的 L 可测函数, A 是 1 R 中的 L 可测集, ( ) 1 f A − 不 一定是 L 可测集. 提示: 利用§3.1 例 6 中的结果.. 16. 设(X , F ) 是一可测空间, f (x,t) 是定义在 X ×[0, 1]上的函数. 若对每个 t ∈[0, 1], f (x,t) 对 x 可测, 对每个 x ∈ X, f (x,t) 对t 连续, 证明 ( ) max ( , ) 0 1 g x f x t ≤t≤ = 是可测函数. 17. 证明§3.1 定理.7 和定理.8. 18. 设 f 和 g 是定义在 1 R 上的两个连续函数. 证明若 f 和 g (关于 L 测度)几乎处 处相等, 则 f 和 g 处处相等. 19. 设 f 和 g 是 (0,1) 上单调减少的左连续函数 . 若对任意 c ∈ 1 R 总 有 m({ f ≥ c}) = m({g ≥ c}), 证明 f (x) = g(x), x ∈ (0,1). 20. 设 f 是有限测度空间(X, F ,µ) 上的 a.e.有限的可测函数. 证明对任意δ > 0, 存 在可测集 A ⊂ X , δ 使得 ( ) δ , m X − Aδ < 并且在 Aδ 上, f 有界. 21. 设{ }n f 是一列可测函数. 证明 A {x :lim f (x) n n→∞ = 存在并且有限}是可测集. 22. 设( ) n f 是可测函数列. 证明: (1) 若 , , , a.e. a.e. a.e. f n → f f n → g 则f = g (2) 若 f f , f g, n →µ n →µ 则 f = g, a.e. 23. 证明: (1) 若 , a.un. f f n → 则 . a.e. f f n → (2) 若 , a.un. f f n → 则 f f . n →µ 24. 证明若 f f , n →µ 则 lim lim , a.e. n n n n f f f →∞ →∞ ≤ ≤ 25. 证明若 f f , g g, n →µ n →µ 则 (4). ( ) , . (3). . (2). . ( ) (1). , X f g fg f g f g f f f f n n n n n n < +∞ → + → + → → µ µ µ µ µ α α α 若 则 是常数