(1)F(x)22: (2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根. 证明：①)F)=+高之22，ea.创 （2)由题知在a1上连续，又F-0t+=-0<0, F0=0a:0-广0d>0,由零点定理知方起F=-0在区间a内至少有一个根，又由（D 的结论知F(x)在[a,b]上单调增加，故方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根. 习题5-4 1.选择题： (1)设函数fx)在-aa上连续，则，fxd恒等于()， (A)2dx:(B)o:(C)[Lf(x)+f(-x)dx:(D)[Lf(x)-f(-x)ldx (2)设函数f)是连续函数，且1=fx灿，其中1≠0，则1()。 (A)依赖于s与1：(B)依赖于s,不依赖于t:(C)依赖于1，不依赖于s:(D)不依赖于s与t. (3)设I=∫Dsin(cosx)dr,则(). (A)I=1: (B)I<0: (c)0<I<1: (D)1=0. 解：(1)应选(C),因为∫，fx)dr=∫心f(x)dr+心fxd, 又∫fx)d含x=-0f-)d(-）=f-x)dr,所以f)=gfx)+f-xr: 2)应滤(B).因为1=few令=：1u-fot: (3)应选(D),因为I=sin((cos x)dx=元+'sin eos(1+列H(1+列 =”sin(-cos)d=-Jsin(cos0d=-,所以21=0→I=0. 2.计算下列定积分： 1 (1) dx dx: JΞsin2xcos2x 201+5 (3)sin'x-sin'xdx: feae (5)」 (6)(2-x)d: ) dx: xv1+Inx 66 （1） F (x)  2 ； （2） 方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个根． 证明：（1） 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) F x f x f x f x f x       ， x [a, b] （ 2 ） 由题知 F x( ) 在 [a, b] 上连续 ， 又 1 1 ( ) ( )d d d 0 ( ) ( ) a a b a b a F a f t t t t f t f t         ， 1 ( ) ( )d d ( )d 0 ( ) b b b a b a F b f t t t f t t f t        ，由零点定理知方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内至少有一个根，又由（1） 的结论知 F x( ) 在 [a, b] 上单调增加，故方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个根． 习题 5-4 1． 选择题： （1）设函数 f x( ) 在 [ , ] a a 上连续，则  a a f (x)dx 恒等于（ ）． （A）  a f x x 0 2 ( )d ； （B） 0 ； （C） 0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ；（D） 0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ． （2）设函数 f (x) 是连续函数，且   s t I t f tx x 0 ( )d ，其中 t  0 ，则 I （ ）． （A）依赖于 s 与 t ；（B）依赖于 s ，不依赖于 t ；（C）依赖于 t ，不依赖于 s ；（D）不依赖于 s 与 t ． （3）设 0 I x x sin(cos )d    ，则（ ）． （A） I 1 ； （B） I  0 ； （C） 0 1  I ； （D） I  0． 解：（1）应选 ( ) C ，因为 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a a f x x f x x f x x        ， 又   0 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a f x x x t f t t f x x             令 ，所以 ( )d a a f x x    0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ； （2）应选 ( ) B ，因为 0 0 0 ( )d ( )d = ( )d s t s s u I t f tx x u tx t f u f u u t            令 ； （3）应选 ( ) D ，因为   0 0 I x x x t t t sin(cos )d sin cos( ) d( )             令 ，． 0 0 sin( cos )d sin(cos )d t t t t I           ，所以 2 0 0 I I    ． 2．计算下列定积分： （1） 3 2 2 4 1 d sin cos x x x   ； （2） 1 3 2 d (11 5 ) x x    ； （3） 3 5 0 sin sin d x x x    ； （4） ln 2 2 0 e (1 e ) x x  dx  ； （5） 4 1 d 1 x  x  ； （6） 2 5 2 1 (2 ) d  x x  ； （7）   2 1 1 ln e d x x x ； （8）   2 2 2 8 2x dx ；