五、(20分)设 G(r,t; r, t)= G(a, p; r, t') 则定解问题变为 pG(E, p;r, t' G(a, p:r, t') (r, p;a',t 解之得 T<a B a sinh B 可以定出常数 于是, 查表,即得反演 G(, t; r, t') Ax(t-t) (t-t) Laplace变换,常微分方程定解问题 (4分) 解方程:x<x (2分) (2分) 连接条件:形式 (4分) 结果 (2分) 反演:n(t-t) 查表,得最后结果 (4分)⑩✱ (20 ✲) ❶ G(x, t; x 0 , t0 ) ; G(x, p; x 0 , t0 ), ②❇❅❁❂✵❷    pG(x, p; x 0 , t0 ) − κ d2 d xG(x, p; x 0 , t0 ) = e−pt0 δ(x − x 0 ), G(x, p; x 0 , t0 )   x=0 = 0, G(x, p; x 0 , t0 )   x→∞ → 0. ❅❸❹ G(x, p; x 0 , t0 ) =    A sinhr p κ x, x < x0 , B exp  − r p κ x  , x > x0 . ❺❻✐✼✽ G(x, p; x 0 , t0 )    x=x 0+0 x=x0−0 = 0, −κ d dx G(x, p; x 0 , t0 )    x=x 0+0 x=x0−0 = e −pt0 ❼ B exp  − r p κ x 0  − A sinh r p κ x 0 = 0, B exp  − r p κ x 0  + A cosh r p κ x 0 = 1 √κp e −pt0 , ❽❚❇⑦ ⑨ ❉ A = 1 √κp e −pt0 exp  − r p κ x 0  , B = 1 √κp e −pt0 sinh r p κ x 0 . ❾❿❘ G(x, p; x 0 , t0 ) =    1 √κp e −pt0 exp  − r p κ x 0  sinh r p κ x, x < x0 , 1 √κp e −pt0 exp  − r p κ x  sinhr p κ x 0 . x > x0 , ➀❱❘ ❼❹➁➂ G(x, t; x 0 , t0 ) = 1 2 p κπ(t − t 0)  exp  − (x − x 0 ) 2 4κ(t − t 0)  − exp  − (x + x 0 ) 2 4κ(t − t 0)  η(t − t 0 ). Laplace ✵➃❘⑨❜✲✸✹❇❅❁❂ (4 ✲) ❅ ✸✹➄ x < x0 (2 ✲) x > x0 (2 ✲) ❻✐✼✽➄➅❊ (4 ✲) ➆➇ (2 ✲) ➁ ➂ ➄ η(t − t 0 ) (2 ✲) ➀❱❘ ❹➈➉➆➇ (4 ✲) 16