首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 (数学类,2009) 考试形式:闭卷考试时间:120分钟满分:100分 题号 四 五 六 七总分 满分1 5 10 10 15 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 得分 、(15分)求经过三平行直线L:x=y=, 评阅人 L2:x-1=y=z+1,l3:x=y+1=--1的圆柱面的方程 解:先求圆柱面的轴L的方程.由已知条件易知,圆柱面母线的方向是 迟出 n=(1,1,1),且圆柱面经过点O(0,0,0),过点O(0,0,0)且垂直于n=(1,1,1)的平 面x的方程为:x+y+z=0 (3分) 丌与三已知直线的交点分别为O0,0,0),P(,0,-1),Q(0,-1,1) (5分) 圆柱面的轴L是到这三点等距离的点的轨迹,即 12+ +(2+ (y+1)2+(二-1) x-二 (9分) y 将L的方程改为标准方程 圆柱面的半径即为平行直线x=y=z和x-1=y+1=z之间的距离.P(1-1,0) 第1页(共6页第 1 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分 15 20 15 10 10 15 15 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 一 、（ 15 分）求经过三平行直线 1 Lx y z : = = ， 2 Lx y z :1 1 − = =+ ， 3 Lx y z : 11 = += − 的圆柱面的方程. 解： 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是 n = (1,1,1) G ， 且圆柱面经过点O(0,0,0) ， 过点O(0,0,0) 且垂直于n = (1,1,1) G 的平 面π 的方程为： xyz ++= 0 . ……………………………（3 分) π 与三已知直线的交点分别为OP Q (0,0,0), (1,0, 1), (0, 1,1) − − ………… （5 分) 圆柱面的轴 L0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) xyz x y z xyzx y z ⎪⎧ + + =− + ++ ⎨ ⎪⎩ + + = ++ +− ， 即 1 1 x z y z ⎧ − = ⎨ ⎩ − = − ，……………………………………………（9 分) 将 L0 的方程改为标准方程 x −1 1 = += y z. 圆柱面的半径即为平行直线 x = y z = 和 x −1 1 = += y z 之间的距离. 0 P (1, 1,0) − 得 分 评阅人