第八章二次型 8.1习题 1.证明,一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同 2.对下列每一矩阵A,分别求一可逆矩阵P,使PAP是对角形式: 121 ()A=211 101 (l)A= l101 10 DA 11-1-1 3.写出二次型∑∑ 的二次型,使后者只 N/-川|x,的矩阵,并将这个二次型化为一个与它等价 变量的平方项. 4.令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵,即满足条件A'=-A (iA必与如下形式的一个矩阵合同: 01 (i)斜对称矩阵的秩一定是偶数 (i)F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩第八章 二次型 §8.1 习题 1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同． 2．对下列每一矩阵 A，分别求一可逆矩阵 P，使 PAP 是对角形式： (i) ; 1 1 3 2 1 1 1 2 1           A = (ii) ; 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1               A = (iii) . 1 1 1 1 1 2 4 1 1 4 2 1 1 1 1 1               − − − − − A = 3．写出二次型 = = − 3 1 3 1 | | i j i j i j x x 的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价 的二次型，使后者只含变量的平方项． 4．令 A 是数域 F 上一个 n 阶斜对称矩阵，即满足条件 A = −A ． (i)A 必与如下形式的一个矩阵合同：                           − − 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0   (ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数． (iii) F 上两个 n 阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．