Vn(Sk,4k,…,Sn,4n,Sa+l)=(Sk,山g,'k+n(Sk4,kl,…,n,n,Sn+i》 即yn(S,Pn(S》=Ψ(S,4e,'n(S1P+n(》,其中Pn（)=4,P+(i}，s1=TS,4)。 (C)(S,4,'4n)对于变量V4n严格单调。 例如，设指标函数是取各阶段指标函数之和的形式，即Vn（S,4,,,4,5)=∑y(S,4,), 则 Vn(Sk,k,…,5n,4n,Sa+i)=V%(Sk,4g)+V+ln(Sk+1,山kl,…,Sn,4n,Sn+i） 即 Vin(SkPn(S))=V(5xu)+Vn(5 Pn(5) m显然满足指标函数的三个性质。 上述五点是构造动态规划模型的基础，是正确写出动态规划基本方程的基本要素。而一个问题的动 态规划模型是否正确给出，集中反映在恰当地定义最优值函数和正确地写出递推关系式及边界条件上。 5.基本方程 根据动态规划有顺序、逆序之分，则如何表述动态规划基本方程呢？ 设指标函数为各阶段指标函数之和，即 4=立y4) 则'n(S,P(S》=v(S,4)+'4n(Sk+1,Pk+n(Sk》，其中S4=T(S,4e), Pn(S)={uk,Pk+n(Sk)}∈Pn(S)={(uk,Pk+lnl4k∈Uk(Sk)2Pkn∈PHn(Sk+1）,Sk+=T(Sk,uk)} 于是，对k=n,…,1,有 f(S)='n(S,Pn(s》=op1,'n(S,Pn(sx》 Pan(sa)EPn(sg) opt v(Sk,ux)+Vs(S Pcin(55=T(5,ug) {ukP及i(neR(se) opt fv(Su)+opt Vn(S Pn())5=T(5ug) UsEU(Sk) P(SK+)EP(5+) =opt v(Sxug)+f()S=T(S,ug) ∈U(s) opt v(s,ug)+fT (S,ug)) MLEU(Sk) 即 (5)=opt v(su)+(T(sgu))3,k=n,...1 ∈U(s4) fn+1(Sn+1)=0 一一动态规划逆序解法的基本方程 最后求出(S)。设上述递推关系中相应的最优解为山4(S),则最优策略为 {4(s),4(s2)2…,4n-(Sn-1),4(sn)}S2=T(S,4(s),,Sn=Tm-1(sn-1,n-1(sn-i) 一顺序确定最优策略 对于一般的指标函数6 , 1 1, 1 1 1 ( , , , , , ) ( , , ( , , , , , )) V su sus suV s u sus kn k k n n n k k k k n k k n n n " " + + ++ + =ψ 即 , , 1, 1 1, 1 ( , ( )) ( , , ( , ( ))) V s p s suV s p s kn k kn k k k k k n k k n k =ψ + ++ + ，其中 , 1, 1 ( ) { , ( )} kn k k k n k p s up s = + + ， 1 (, ) k kk k s Tsu + = 。 （c） 1, (, , ) k k k kn ψ suV + 对于变量Vk n +1, 严格单调。 例如，设指标函数是取各阶段指标函数之和的形式，即 , 1 (, , ,, , ) (, ) n kn k k n n n j j j j k V su sus vsu + = " = ∑ ， 则 , 1 1, 1 1 1 (, , ,, , ) (, ) ( , , ,, , ) V su sus vsu V s u sus kn k k n n n k k k k n k k n n n " " + + ++ + = + 即 , , 1, 1 1, 1 ( , ( )) ( , ) ( , ( )) V s p s vsu V s p s kn k kn k k k k k n k k n k = + + ++ + Vk,n 显然满足指标函数的三个性质。 上述五点是构造动态规划模型的基础，是正确写出动态规划基本方程的基本要素。而一个问题的动 态规划模型是否正确给出，集中反映在恰当地定义最优值函数和正确地写出递推关系式及边界条件上。 5．基本方程 根据动态规划有顺序、逆序之分，则如何表述动态规划基本方程呢？ 设指标函数为各阶段指标函数之和，即 , 1 (, , , ) (, ) n kn k k n j j j j k V su s vsu + = " = ∑ 则 , , 1, 1 1, 1 ( , ( )) ( , ) ( , ( )) V s p s vsu V s p s kn k kn k k k k k n k k n k = + + ++ + ，其中 1 (, ) k kk k s Tsu + = ， , 1, 1 , ( ) { , ( )} ( ) kn k k k n k kn k p s up s P s = ∈ + + = 1, 1, 1, 1 1 {( , ) | ( ), ( ), ( , )} k kn k k k kn kn k k k k k u p u U s p P s s Tsu + + + ++ ∈ ∈ = 于是，对 k n = , ,1 " ，有 , , 1, 1 , 1, 1 1, 1 * ,, ,, () () 1, 1 1, 1 1 { , ( )} ( ) ( ) ( )} ( ( ) ( , ( )) ( , ( )) { ( , ) ( , ( ))} ( , ) {(, ) kn k kn k k k n k kn k k kk knk knk k k kn k kn k kn k kn k p sPs k k k knk knk k k k k up s P s kkk uUs p s P s f s V s p s opt V s p s opt v s u V s p s s T s u opt v s u opt + + ++ ++ ∈ + ++ + + ∈ ∈ ∈ = = =+ = = + 1, 1 1, 1 1 ) 11 1 ( ) 1 ( ) ( , ( ))} ( , ) { ( , ) ( )} ( , ) { ( , ) ( ( , ))} k kk k kk knk knk k k k k kk k k k k kk k uUs kk k k kk k uUs V s p s s Tsu opt v s u f s s T s u opt v s u f T s u + ++ + + ++ + ∈ + ∈ = = += = + 即 1 ( ) 1 1 ( ) { ( , ) ( ( , ))}, , ,1 ( )0 k kk kk kk k k kk k uUs n n f s opt v s u f T s u k n f s + ∈ + + ⎧ =+ = ⎪ ⎨ ⎪⎩ = " ——动态规划逆序解法的基本方程 最后求出 1 1 f ( ) s 。设上述递推关系中相应的最优解为 * ( ) k k u s ，则最优策略为 ** * * * * 1 1 2 2 1 1 2 11 1 1 1 1 1 1 { ( ), ( ), , ( ), ( )} ( , ( )), , ( , ( )) n n nn n n n n n u s u s u s u s s Tsu s s T s u s " " −− −− −− = = ——顺序确定最优策略 对于一般的指标函数