大学物理练习册一真空中的静电场 7-18一半径为R的无限长带电棒,其内部的电荷均匀分布,电荷体密度为ρ。(1)求电场分布;(2)如图 7-18所示(沿棒轴向俯视),若点电荷q由a点运动到b点,则电场力做功为多少? 解:(1)取长为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面。由高斯定理 R E1·dS= eo Jody- P2nmrld 即E,2m=1pm21得E=Pr 图7-18 r>RE22m=-pnRl得 2 (2)半径相同处的电势相等 Ah=qolEdi=g[. di+.edi rR pr dr+qo 260/ =9P(R2-)+3QR21n 7-19题7-18中,若取棒的表面为零电势,求空间的电势分布。 解:取棒表面为零电势,即UR=0 r<R时,U1=E:07=ar=(2-r) r>R时,U E.dl d in 2 7-20如图7-20所示,电荷面密度分别为+σ和-a的两块“无限大”均匀带电平行平面,分别与x轴相交 于x1=a和x2=a两点。设坐标原点O处电势为零,求空间的电势分布。 x<-a E1=0;-a<x<a:E2=-1:x>a:E3=0 U1=∫Ed=E2d -a<x<: U2=E2 di=-JE2 di=-x 图720 U,=Ed/ dl d/ 31大学物理练习册—真空中的静电场 7-18 一半径为R的无限长带电棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ 。（1）求电场分布；（2）如图 7-18 所示（沿棒轴向俯视），若点电荷q0由a点运动到b点，则电场力做功为多少？ 解：（1）取长为 l、半径为 r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面。由高斯定理 r < R ∫ ∫ ∫ ⋅ = = S V V E S V 2 rl d r 1 d 1 d 0 0 1 ρ π ε ρ ε v v R r2 b r a 1 即 E rl r l 2 0 1 1 2 ρπ ε ⋅ π = 得 E r v v 0 1 2ε ρ = 图 7-18 r > R E rl R l 2 0 2 1 2 ρπ ε ⋅ π = 得 r r R E ˆ 2 0 2 2 v v ε ρ = （2）半径相同处的电势相等 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = + 2 1 d 2 d 2 d d d 0 2 0 0 0 0 1 0 2 0 r R R r b R R a b a ab r r R r q r A q E l q E l q E l q ε ρ ε v v v v v v ρ R q R r R r q 2 0 2 2 0 1 2 0 0 ln 2 ( ) 4 ε ρ ε ρ = − + 电势 7-19 题 7-18 中，若取棒的表面为零电势，求空间的电势分布。 解：取棒表面为零电势，即U R = 0 r < R 时， ( ) 4 d 2 d 2 2 0 0 1 1 r R r r U E l R r R r = ⋅ = = − ∫ ∫ ε ρ ε v r ρ r > R 时， r R R r r R U E l R r r R ln 2 d 2 d 0 2 0 2 2 = ∫ ∫ 2 ⋅ = − = ε ρ ε v r ρ 7-20 如图 7-20 所示，电荷面密度分别为 +σ 和 -σ 的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x轴相交 于x1= a 和x2= -a两点。设坐标原点O处电势为零，求空间的电势分布。 解： x < −a ： E1 = 0 ； ： v − a < x < a E i v v ε σ 0 2 = ； x > a ： E3 = 0 v 。 x +σ -σ O -a a ∴ x < −a ：U E l E l a x a 0 0 2 0 1 d d ε σ = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ − v v v v − a < x < a ：U E l E l x x x 0 0 2 0 2 2 d d ε σ = ⋅ = − ⋅ = − ∫ ∫ v v v v 图 7-20 x > a ：U E l E l l a a x a 0 0 0 0 2 0 3 d d d ε σ ε σ = ⋅ = ⋅ = − = − ∫ ∫ ∫ v v v v 31