·306. 附录A IEEE浮点运算标准 一个比较有趣的问题是何时两个浮点数能进行精确的相减运算。 定理A1(Ferguson,,1995)[68设浮点数x和y满足 e(z-y)s minfe(z),e(y)} (A2 其中()表示一个正规浮点数的指数则（红-）=工一.（假定一y不会下溢） 白这里只考虑浮点运算误差，所以假定x,y都是计算机可以精确表示的.事实上，由(A2)可 知，x和y的指数至多差1. 上面的定理对任何基都成立.如果基是2，则有下面的结论 推论A.2(Sterbenz,197④设浮，点数x和y满足 /2≤x≤2y, 则（红一）=x一弘.（假定x一y不会下溢） 下面的结论对估计浮点运算的舍人误差非常有用[68，pg©63)， 引理A3设耐≤eu且neu<1,则 ia+sr=1+,a≤a色 其中：=士1 例A)(多项式运算的金人误差分析：已知多项式)=三对于给定的五分析计算 p(c)的值时的舍入误差， 解.在对多项式p叫)=anx+an-1x-1…+a1x+o求值时，我们通常采用Horner法则 算法Al.Horner法则 1:p=a 2:fori=n-1:-1:0 do p=x+p+ai 4:end for 先看一个具体的例子.设p(x)=(任-2)，观测工=2附近的舍入误差.我们通过画图来显示 误差情祝（见图A.2.观察发现，用Hoer法则求值时会在x=2附近会出现“噪声带 下面我们基于舍入误差分析模型(A.1)来分析多项式求值的误差情况.带舍人误差的Hore 算法可写为 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan仅供课堂教学使用，请勿外传 · 306 · 附录 A IEEE 浮点运算标准 (A.1). 一个比较有趣的问题是何时两个浮点数能进行精确的相减运算. 定理 A.1 (Ferguson, 1995) [68] 设浮点数 x 和 y 满足 e(x − y) ≤ min{e(x), e(y)} (A.2) 其中 e(·) 表示一个正规浮点数的指数. 则 fl(x − y) = x − y. (假定 x − y 不会下溢) b 这里只考虑浮点运算误差, 所以假定 x, y 都是计算机可以精确表示的. 事实上, 由 (A.2) 可 知, x 和 y 的指数至多差 1. 上面的定理对任何基都成立. 如果基是 2, 则有下面的结论. 推论 A.2 (Sterbenz, 1974) 设浮点数 x 和 y 满足 y/2 ≤ x ≤ 2y, 则 fl(x − y) = x − y. (假定 x − y 不会下溢) 下面的结论对估计浮点运算的舍入误差非常有用 [68, page 63]. 引理 A.3 设 |δi | ≤ εu 且 nεu < 1, 则 Yn i=1 (1 + δi) ρi = 1 + θn, |θn| ≤ γn ≜ nεu 1 − nεu , 其中 ρi = ±1. 例 A.9 (多项式运算的舍入误差分析) : 已知多项式 p(x) = Pn k=0 akx k . 对于给定的 x, 分析计算 p(x) 的值时的舍入误差. 解. 在对多项式 p(x) = anx n + an−1x n−1 · · · + a1x + a0 求值时, 我们通常采用 Horner 法则. 算法 A.1. Horner 法则 1: p = an 2: for i = n − 1 : −1 : 0 do 3: p = x ∗ p + ai 4: end for 先看一个具体的例子. 设 p(x) = (x − 2)9 , 观测 x = 2 附近的舍入误差. 我们通过画图来显示 误差情况 (见图 A.2). 观察发现, 用 Horner 法则求值时会在 x = 2 附近会出现 “噪声带”. 下面我们基于舍入误差分析模型 (A.1) 来分析多项式求值的误差情况. 带舍入误差的 Horner 算法可写为 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan