依次取F(x)=x2,x+,hx即可。 13、若f(x)在[0,1连续,在(0,1)可导,且f(0)=0,f(1)=1。试证:对任 意一组正数m1,m2…,m,存在(0,1)内k个正数0<x1<x2<…<xk<1,使得 +m+…+m f(,f(x2) f(xr) 则q>0,∑91=1·只须证明:存在 ∈(01)x,个使∑=1。由于0<4<q1+q25…<q1+q2+…+9<1 且f(0)=0,f(1)=1=∑q,故由介值定理,存在51,52…;5k∈(01)且 <5k-1,使得f(51)=q1,f(52)=q1 ,f(5k1)=q+q2+…+qk 又由中值定理x1∈(0,51)使f(x1)51=f(5)=q1;x2∈(51,52)使得 f(x2)(2-51)=f(52)-f(51)=q2 xk∈(5k1,1)使f(xk) (1-5k-1)=f(1)-f(5k-1)=qk。将这些等式变形再相加即得所证 14、设f(x)在(0,+∞)n阶可导,且lmf(x),imf"(x)都存在。求证: f((x)=0(k=1,2,,n)。 证:(1)证明存在{m}↑+使∫((5m)→0(m→+∞,k=1,2,…,n 事实上,对自然数m,存在∈(2m-1,2m)使f'(m)=f(2m)-f(2m-1) 由于f(+∞)存在,故f'(5m)→0。显然1<1-0)<3且{m}个+∞。 设{m)↑+使f((m)→>0(m→+0),且1<5(1-5m)<3k。于是又存18 依次取 F（x）= x , x ,ln x 2 4 即可。 13、若 f（x）在[0，1]连续，在（0，1）可导，且 f（0）= 0，f（1）= 1。试证：对任 意一组正数 m m mk , , , 1 2  ，存在（0，1）内 k 个正数 0  x1  x2  xk 1 ，使得 k k k m m m f x m f x m f x m = + + +  + +  +   1 2  2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 。 证：记 , , 0 , 1 1 1 =  =   = = = k i i i i i k i i q q M m M m q 则 。只须证明：存在 xi  (0,1), xi  使 1 ( ) 1 =   = k i i i f x q 。由于 0 < 1 q < 1 q + 2 q < ．．．< 1 q + 2 q ++ k−1 q < 1 且 f（0）= 0， f（1）= 1 = = k i qi 1 ，故由介值定理，存在 1  ， , ,  2   k−1 (0,1) 且 1  <  2   k−1 ,使得（f 1  ）= 1 q ，（f  2 ）= 1 q + 2 q ，．．．，（f  k−1 ）= 1 q + 2 q ++ k−1 q 。 又由中值定理 x1  （0， 1  ）使 ( ) 1 f  x 1  = f（ 1  ）= 1 q ； x2  （ 1  ， 2 ）使得 ( ) 2 f  x (  2 － 1  ) = f（  2 ）－f（ 1  ）= 2 q ； ．．．．．． ； xk  （  k−1 ，1）使 ( ) k f  x （１－  k−1 ）＝f（1）－f（  k−1 ）＝ k q 。将这些等式变形再相加即得所证。 14、设 f（x）在 (0 , + ) n 阶可导，且 x→+ lim f（x） ，x→+ lim ( ) ( ) f x n 都存在。求证： x→+ lim ( ) ( ) f x k = 0 （k = 1，2，．．．，ｎ） 。 证：（1）证明存在{ (k )  m }  + 使 (k ) f ( (k )  m ) → 0 （m → + ）， k = 1，2，．．．，ｎ 。 事实上，对自然数 m ，存在 (1)  m  （2m－1 ，2m）使 f  ( (1)  m ) = f (2m)－ f (2m－1)。 由于 f ( + )存在，故 f  ( (1)  m ) → 0 。显然 1＜ (1)  m+1 － (1)  m ＜3 且{ (1)  m }  + 。 设{ (k )  m }  + 使 (k ) f ( (k )  m ) → 0 （m → + ）,且 1＜ ( ) 1 k  m+ － (k )  m ＜3 k 。于是又存