第1期 赵春晖，等：压缩感知理论及其在成像技术中的应用 ·25· 拟信号本身处理，不必将其转换为数字形式就可以通 下限首先要引入矩阵相关性的概念.观测矩阵Φ和 过一系列的步骤得到离散形式的观测值， 稀疏分解矩阵业之间的相关性可以采用矩阵间的 对于模拟信号f(t),利用一组连续的正交基 相关系数（Φ，）表示， {中.(t)}=可以将其分解为 u(D,)=Nmw（,,〉l. ft)=∑，.(t). 式中：（中，业）∈[1，√n].简单来说，相关系数表征 这里假设系数向量x是严格S稀疏的.尽管每一个 了2个矩阵所包含的元素之间最大的相关关系。 业(t)都可能具有极宽的带宽，但是信号f八t)却可以 (中，)越大表示2个矩阵之间的相关性越大，反 只用很少的自由度确定， 之则越小 A/I转换的处理过程大致分为3步：调制、滤波 定理1】假设信号fR"在稀疏分解矩阵 和采样21，如图3所示.首先利用元素为±1的伪 亚下其系数x是S稀疏的，在Φ域中随机选择M 随机序列P。(t)对模拟信号f(t)进行调制（即相 个规测值满足 乘)，这样做的目的是使信号的频域成分被分散开， M≥C×u2(Φ，)×S×logN, 不受后续滤波处理的破坏，此处的调制速率必须大 式中：C为一个正值常数那么式(7)表示的1-最小 于或者等于输入信号f(t)的Shannon/Nyquist采样 化将以极大的概率取得精确解 率；之后用冲击响应为(t)的低通滤波器对其进行 对定理1有如下4点说明： 滤波；最后使用传统的模数(A/D)转换器以频率 1)相关性的作用是十分明显的，相关性越小则 采样.尽管输入信号是模拟量，但该系统得到的观测 需要的采样数就越少， 值y依然是离散形式的 2)每一个观测值中都包含着原始信号的一部 分信息，可以通过任意M个观测值的组合获得信号 y[m]= v.(r)p.(r)h(mg-)dr. 的全部信息 (8) 3)可以通过解一个凸优化问题，从任意M个观 测值中重建原始信号∫，这个重建过程是独立于信 榄拟 号的，不需要知道任何与原始信号有关的先验知识， 滤波器) 只要原始信号足够稀疏就可以得到精确的结果。 量化器 p0{-1,lH 4)“以极大的概率取得精确解”暗示了例外情 况存在的可能性，某些经过人为精巧安排的不遵守 图3A/I转换 此定理的信号是可能存在的，但是它们几乎不可能 Fig.3 Schematic diagram of A/I conversion 在自然情况下出现 为了与离散形式的CS统一起来，依然希望y是 2.2对可压缩信号的重建 由f(t)通过一个M×N压缩感知矩阵⊙来得到.根 在前面介绍的CS技术都是针对严格稀疏的信 据式(8)可以如此构造压缩感知矩阵，令其第m行、 号的，但是实际应用中遇到的信号往往不是严格稀 第n列的元素0m,n为 疏的，而是可压缩的.那么自然要问这样的问题：CS 0-v.(r)p.(r)h(mg-r)dr. 对于可压缩信号的重建性能如何？显然精确重建是 显然压缩感知矩阵⊙仍然由两部分组成：稀疏分解 不可能的；但是考虑到可压缩信号能够由严格稀疏 矩阵亚将模拟信号分解为频域系数；观测矩阵Φ 信号近似，那么重建信号也应该是精确解的近似.假 从模拟信号中提取离散的观测值.如此一来，模拟信 设对于任意向量x∈R“,保留其中最大的S个元素 号的CS就被纳入到离散CS的轨道中来了，离散形 并将其余置0得到xs,下面将以xs为标准来衡量可 式中的理论可以简单地推广到模拟信号的处理当 压缩信号的重建效果， 中，以实现对更加复杂的模拟信号进行灵活的处 定理20假设6s<2-1,那式(7)的解x满足： 理23241 Ix-xI2≤Cx-‖山 2压缩感知的性能 √3 lx-x‖1≤C川x-x3‖… 2.1压缩能力 观测值向量y作为最终的编码结果，其长度与 式中：C为常数.如果x是可压缩的并满足指数规律 观测矩阵Φ的某一维长度M相关，M的大小显然 xl(m≤R×n,即x属于一个半径为R的弱l。球 不可能是任意的，它必然有一个下限为了找到这个 时，根据经典计算可知：