第四章对偶问题及对偶单纯形法 无论从理论方面，还是实际应用方面，对偶理论是线性规划的重要的基础理论之 其主要内容是：每一个线性规划问题（称为原问题），都有一个与之对应的线性规划问题( 称为对偶问题)，原问题和对偶问题之间存在着密切的关系，在求出一个问题的解的同时 也自动的给出了另一个问题的解。 第一节对偶问题的提出 为了说明原问题和对偶问题间的关系，首先介绍下面例题中的线性规划问题的对偶 问题 例1.某养鸡场所用的饲料由A、B、C三种配料组成，表4-1给出了各种配料所含的 营养成份、单位成本及1份混合饲料必须含有的各种营养成分.问如何配制混合饲料使 饲料成本最小？ 表4-1 营养戚分 D 单位成本 配 1 1/2 B 1 C 1 1/4 1份饲料应含量 20 6 10 设 x,=混合饲料中第种配料的含量.行=A.B.C 则这个问题的线性规划模型是 min z=6xA+3IB+2Xo (4.1) 满足 xA+xB+xC≥20， rA+xB+xC≥6， 2xA+xB+xC≥10， (4.2) ≥0，对一切 现设想有一个饲料厂，制造含有这三种营养成分各1单位的营养丸.他们知道养鸡 场对混合饲料的要求，因此在制订营养丸的价格时，每丸D、E、F营养丸的价格分别定 为9、29，养鸡场采购1单位的配料4，相当于对这3种普养丸分别采购122丸等 等。因此问料厂定营养丸的价格时，必须有： q1+2+2g≤6， 01+2+03≤3， 1+2+g≤2 (4.3) g≥0，i=1.2.3 否则养鸡场就会向别处购买配料而不买营养丸.显然(13)就是饲料厂决定营养丸售 价时的线性规划模型的约束条件方程。目标函数是要求相当于1份混合饲料的营养丸的 1 ￾✂✁☎✄ ✆✞✝✞✟✞✠✞✡✞✆✞✝☞☛☞✌☞✍☞✎ ✏✒✑✒✓✒✔✒✑✒✕✒✖, ✗✒✘✒✙✒✚✒✛✒✜✕✒✖, ✢✒✣✔✒✑✘✒✤✒✥✒✦✒✧✒★✒✩✒✪✒★✒✫✒✬✔✒✑✒✭✒✮✒✯ ✰✒✱✪✳✲✵✴✒✘: ✶ ✮✒✷✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹ (✺✒✻✒✼✒✸✒✹), ✽✒✾✮✒✷✒✿✒✭✢✒✛✒★✒✤✒✥✒✦✒✧❀✸❀✹ ( ✺❀✻❀✢❀✣❀✸❀✹), ✼❀✸❀✹❀❁❀✢❀✣❀✸❀✹✭❀❂❀❃❀❄❀❅❀❆❀❇★❀❈❀❉, ❄❀❊❀❋❀✮❀✷✸❀✹❀★❀●❀★❀❍❀■ ❏▲❑◆▼★✒❖❋✒P✒◗✒✮✒✷✸✒✹✒★✒●✯ ❘❚❙❚❯ ❱❚❲❚❳❚❨❚❩❭❬❫❪ ✻ P❀❴❛❵✼❀✸❀✹❀❁❀✢❀✣❀✸❀✹❂ ★❀❈❀❉, ❜❀❝❀❞❀❡❀❢✖❀❣✹❛❤✐★❀✤❀✥❀✦❀✧❀✸❀✹❀★❀✢❀✣ ✸✒✹✯❥ 1. ❦✒❧✒♠✒♥✒♦✒✜✒★✒♣✒q✳r As B s C t✒✉✒✈✒q✒✇✒①, ② 4–1 ❖ ❋✒P✒③✉✒✈✒q✒♦✒④✒★ ⑤❧❀①❀⑥❀s⑧⑦❀⑨❀①❀⑩❀❶ 1 ⑥❀❷❀❸❀♣❀q❀❹❀❺❀④❀✾❀★③ ✉ ⑤❧❀①❀❻✯ ✸❀❼❀❽❀✈❀❾❀❷❀❸❀♣❀q❀❿ ♣✒q✒①✒⑩✒➀✒➁? ➂ 4–1 ➃➅➄➅➆➅➇ ➈➅➉ D E F ➊➅➋➆➅➌ A 1 1/2 2 6 B 1 1/2 1 3 C 1 1/4 1 2 1 ➍➅➎➉➅➏➅➐➅➑ 20 6 10 ➒ xj = ❷✒❸✒♣✒q✳❤✵➓ j ✉✒✈✒q✒★✒④✒➔, j = A, B, C, →✒➣✷ ✸✒✹✒★✒✤✒✥✒✦✒✧✒↔✒↕✒✘ min z = 6xA + 3xB + 2XC (4.1) ➙✒➛    xA + xB + xC ≥ 20, 1 2 xA + 1 2 xB + 1 4 xC ≥ 6, 2xA + xB + xC ≥ 10, xj ≥ 0, ✢ ✮✒❇j. (4.2) ➜➒❀➝✾✮❀✷♣❀q❀➞, ❾❀➟❀④❀✾➣ t❀✉⑤❧❀①❀❻③ 1 ⑦❀⑨❀★⑤❧❀➠✯◆➡❀➢❀➤❀➥❧❀♠ ♥❀✢❀❷❀❸❀♣❀q❀★❀✪❊ , ➦❀➧❄ ❾❀➨⑤❧❀➠❀★❀➩❀➫❀■, ✶❀➠ Ds E s F ⑤❧❀➠❀★❀➩❀➫❀❻❀➭❀➯ ✻ q1 s q2 s q3 ✯ ❧✒♠✒♥✒➲✒➳ 1 ⑦✒⑨✒★✒✈✒q A, ➵✒➸✒➺✒✢➣ 3 ✉ ⑤❧✒➠✒❻✒➭✒➲✒➳ 1,1/2,2 ➠✒➻ ➻ ✯ ➦✒➧✒♣✒q✒➞✒➯⑤❧✒➠✒★✒➩✒➫✒■, ❹✒❺✒✾:    q1 + 1 2 q2 + 2q3 ≤ 6, q1 + 1 2 q2 + q3 ≤ 3, q1 + 1 4 q2 + q3 ≤ 2, qi ≥ 0,i = 1, 2, 3 (4.3) ➼→❧➽♠➽♥➽➾➽➚➶➪➹➭➽➘➽➳✒➴✒✈➽q✒➷➽➬✒➴⑤❧✒➠✯➱➮✒✃ (1.3) ➾➽✘➽♣➽q➽➞➽❐➽➯⑤❧➽➠➽❒ ➩✒■✒★✒✤✒✥✒✦✒✧✒↔✒↕✒★✒❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ❀✯➽Ò◆Ó❀Ô✒Õ✘✒✪❊ ➵✒➸❀➺ 1 ⑥✒❷✒❸✒♣✒q✒★⑤❧✒➠✒★ 1