(3)类似地证明:2=1的2k个根也是f(2)的奇点,k为任意正整数 (4)由此证明:不可能将f(z)延拓到单位圆外 第八章留数定理及其应用 1.求下列函数在指定点z处的留数: 0; 20 0 (7) 1 0,1,2, 2.求下列函数在奇点处的留数 为正整数; (5)exp (6)cos (2-1)In 1 3.求下列函数在∞点处的留数 (2) (5)ex (6)√(2-1)(2-2) 4.计算下列积分值 2Wu Chong-shi ❱ ❲ 9 (3) ✧★✩❋●✚ z 2 k = 1 ✑ 2 k ❡✥➈✜ f(z) ✑â✴✷ k ✛✪✫❾✬✏➡ (4) ↕ ➾ ❋●✚➻❅①Ó f(z) ✌✍❥ ❬➛➜✭ P ✄✮✆ ✯✞✰✱✲✳✴✵ 1. ✱✌✍✣✏❃✉✈✴ z0 ❄✑✶✏✚ (1) 1 z − 1 exp ￾ z 2
, z0 = 1; (2) 1 (z − 1)2 exp ￾ z 2
, z0 = 1; (3)  z 1 − cos z 2 , z0 = 0; (4) z 2 z 4 − 1 , z0 = i; (5) 1 z 2 sin z , z0 = 0; (6) 1 + ez z 4 , z0 = 0; (7) e z (z 2 − 1)2 , z0 = 1; (8) 1 cosh √ z , z0 = −  2n + 1 2 π 2 , n = 0, 1, 2, · · · . 2. ✱✌✍✣✏❃â✴❄✑✶✏✚ (1) 1 z 3 − z 5 ; (2) 1 (1 + z 2)m+1 , m✛❾✬✏; (3) z 1 − cos z ; (4) √ z sinh √ z ; (5) exp  1 2  z − 1 z  ; (6) cos 1 √ z ; (7) 1 (z − 1) ln z ; (8) 1 z  1 + 1 z + 1 + 1 (z + 1)2 + · · · + 1 (z + 1)n  . 3. ✱✌✍✣✏❃ ∞ ✴❄✑✶✏✚ (1) 1 z ; (2) cos z z ; (3) z cos z ; (4) (z 2 + 1)ez ; (5) exp  − 1 z 2  ; (6) p (z − 1)(z − 2). 4. ➑➒✌✍➓◆❭✚ (1) I |z−1|=1 1 1 + z 4 dz; (2) I |z−1|=2 1 1 + z 4 dz; (3) I |z−1|=1 1 z 2 − 1 sin πz 4 dz; (4) I |z|=3 1 z 2 − 1 sin πz 4 dz;