10.若∑(xn-xn)绝对收敛,∑υ收敛,则级数∑xny收敛 证由于∑yn收敛,可知vE>0,3N,Mn>N,vp∈N:∑yk<E。由于 ∑(xn-xn1)绝对收敛,所以收敛,于是可知冬xn}有界。 设∑n-xn|=A,kx}≤B,令Bnk=yn+ym2+…+ynk,利用 Abel变换,得到 2xKD=n+p Bn+p-2(xk+1-XKBK<(A+ B)E k=n+1 k=nt 由 Cauchy收敛原理,可知级数∑xnyn收敛。 11.设f(x)在[-1上具有二阶连续导数,且 证明级数∑绝对收敛 证由m/(x)=0可知(0)=0,r(0)=0,于是 f"(0) 所以级数(1绝对收敛 12.已知任意项级数∑x发散,证明级数∑1+也发散。 证采用反证法。令mn=(1+-)xn,若∑n收敛,因为_}单调有界 则由Abe判别法,∑xn=∑"yn收敛,与条件矛盾,所以级数 n 发散 13.设x>0,imn-1|1>0,证明:交错级数∑(-yx收敛。10. 若∑ 绝对收敛， 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n x x ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n n x y 证 由于 ∑ 收敛,可知 ∞ n=1 n y ε 0, N n , N p , N+ ∀ > ∃ ∀ > ∀ ∈ ： ∑ < ε + = + n p k n k y 1 。由于 ∑ 绝对收敛, 所以收敛,于是可知 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n x x {xn }有界。 设 x x A n ∑ n − n = ∞ = − 2 1 , xn ≤ B , 令 n k n n n k B y y y + = +1 + +2 +"+ + , 利 用 Abel 变换，得到 ( ) ( )ε 1 1 1 1 x y x B x x B A B n p k n n p n p k k k n p k n ∑ k k = − ∑ − < + + − = + + + + + = + 。 由 Cauchy 收敛原理，可知级数∑ 收敛。 ∞ n=1 n n x y 11．设 f (x)在[−1,1]上具有二阶连续导数，且 0 ( ) lim 0 = → x f x x 。 证明级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n n f 绝对收敛。 证 由 0 ( ) lim 0 = → x f x x 可知 f (0) = 0 , f '(0) = 0 , 于是 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n f 1 ～ 2 1 2 "(0) n f ⋅ （n → ∞）， 所以级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n n f 绝对收敛。 12. 已知任意项级数∑ 发散，证明级数 ∞ n=1 n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n x n 也发散。 证 采用反证法。令 n n x n y ) 1 = (1+ ，若 ∑ 收敛，因为 ∞ n=1 n y ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n +1 n 单调有界， 则由 Abel 判别法, ∑ = ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 +1 n y n n 收敛，与条件矛盾，所以级数 ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n x n 发散。 13. 设 xn ＞0，lim n n→∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 n 1 n x x ＞0，证明：交错级数 n收敛。 n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 8