第二章极限论 例三mx=?,(p>0.令t=hx 由此可推出: lim x nx=0,(p>0),lmx2=0 例四:求im cos x x-0 Sin- sir 解 =lim =2lim 例五,lm(1+t)=e →0 解:令t=-,lm(1+1)=lm(1+-)x=e x→∞ 特别有:若lmu()=0,u()≠0→lmn(1+()y=e 通过极限运算、变量置换、夹逼法则,将未知极限化成己知 的极限。如m),m(+x)=e,mSmx=1, Q, (x) imx=0,(a>1) In x 0,(P>0) 例大求m(x+y+2 x→)∞X 解:lm( 、qx14(x+2) x→0X 例七:求mnlh(1+x) 解:lim In(1+x) = lim In(1+x)x x-O x 因为当x→>0时,(1+x)x→e, 所以lmh(1+x)x=1,从而 x-)0 lim lim In(1+x)=1 x→0 例八:求极限ln sin( tan x) →0Snx 第二章极限论第二章 极限论 第二章 极限论 例三 ?, ( 0) ln lim =  →+ p x x p x . 令 t = ln x 由此可推出: lim ln 0, ( 0); lim 0 0 0 =  = → + → + x x p x x x p x 例四: 求 2 0 1 cos lim x x x − → 解: x x x x x x x x x x x 2 sin 2 sin 2 lim 2 2sin lim 1 cos lim 0 2 2 0 2 0 = =   − → → → 2 1 2 2 sin lim 2 2 sin 2lim 0 0 =  = → → x x x x x x 例五， t e t t + = → 1 0 lim (1 ) 解：令 x t 1 = , e x t x x t t + = + = → → ) 1 lim (1 ) lim (1 1 0 特别有：若 ( ) ( ) ( ( )) ( ) u t u t u t e u t t t =   + = →• →• 1 lim 0, 0 lim 1 通过极限运算、变量置换、夹逼法则，将未知极限化成己知 的极限。(如 ( ) ( ) lim Q x P x n m x→ , ( x)x e x + = → 1 0 lim 1 , lim 1 0 = → x Sin x x , lim = 0, ( 1) →+ a a x x p x , 0, ( 0) ln lim =  →+ p x x p x ) 例六 求 2 ) 1 3 lim ( + → − + x x x x 解: 1 4( 2) 4 1 2 ) ] 1 4 ) lim [(1 1 3 lim ( − − + → + → − = + − + x x x x x x x x x 4 = e 例七 :求 x x x ln(1 ) lim 0 + → 解: x x x x x x 1 0 0 lim ln(1 ) ln(1 ) lim = + + → → 因为当 x →0 时, x e + x → 1 (1 ) , 所以 lim ln(1 ) 1 1 0 + = → x x x ,从而 x x x x x x 1 0 0 lim ln(1 ) ln(1 ) lim = + + → → =1 例八: 求极限 x x x sin sin(tan ) lim →0