第12卷第3期 智能系统学报 Vol.12 No.3 2017年6月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jun.2017 D0I:10.11992/is.201704026 网络出版地址：http:/kns.cmki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170703.1853.012.html 犹豫模糊集的α-截集及其应用 郑婷婷，桑小双，马斌斌 (安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601) 摘要：经典截集是联系模糊集和清晰集的桥梁。犹豫模糊集作为经典模糊集的拓展，它的相关理论研究还不够深 入，特别是它与经典I型模糊集以及其他模糊集之间的关系还缺少讨论。通过分析犹豫模糊集与【型模糊集、区间 Ⅱ型模糊集之间的关系，引入了犹豫模糊集的α-截集的概念并讨论其性质，根据该截集推导出犹豫模糊集的分解 (表示)定理和更普适的扩展原则。通过分析相关性质及仿真实例，说明了犹豫模糊集的截集概念的合理性，为犹豫 模糊多属性决策和聚类分析等问题提供了新的方法。这些结果也极大丰富了犹豫模糊集的相关基础理论。 关键词：犹豫模糊集：I型模糊集：区间Ⅱ型模糊集：a截集：分解定理：扩展原则：多属性决策：聚类分析 中图分类号：TP18:0159文献标志码：A文章编号：1673-4785(2017)03-0362-09 中文引用格式：郑婷婷，桑小双，马斌斌.犹豫模糊集的-截集及其应用[J].智能系统学报，2017,12(3)：362-370. 英文引用格式：ZHENG Tingting,SANG Xiaoshuang,,MA Binbin..a-cut sets of hesitant fuzzy sets and their applications[J].CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(3):362-370. a-cut sets of hesitant fuzzy sets and their applications ZHENG Tingting,SANG Xiaoshuang,MA Binbin School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China) Abstract:The typical cut set is a bridge between fuzzy sets and clarity sets.The hesitant fuzzy set(HFS)theory, as an extension of the classical fuzzy set theory,has not been thoroughly studied till date;furthermore,there is less discussion regarding the relation between the HFS and classical type-I fuzzy set theory or other fuzzy set theories. This study analyzed the relations between the HFS and type-1 fuzzy set theory and between HFS and interval type-2 fuzzy set theory,proposed the concept of a-cut sets of HFS,and discussed their properties.Meanwhile,the decomposition (representation)theorems and the more general extension principles of HFS based on a-cut sets were deduced.The corresponding properties were studied.The results of the simulation prove the rationality of the a-cut set concept and provide a novel method for hesitant fuzzy multiple attribute decision-making and clustering analysis.All these conclusions deeply enrich the fundamental theory of HFS. Keywords:hesitant fuzzy set;type-1 fuzzy set;interval type-2 fuzzy set;a-cut set;decomposition theorem; extension principle;multiple attribute decision-making;clustering analysis 作为直觉模糊集和模糊多值集的一种新的拓Tora提出了HS的扩展原则，并将此原则用于证 展，犹豫模糊集(hesitant fuzz四set,HFS)由Toma于实他定义的运算的合理性)。还有很多学者讨论 2009年提出1-2】，它的隶属函数是由[0,1]上所有了HS上的距离和相似性度量3)、相关系数[)及 可能的不同值的子集所组成的。Tora介绍了HFS 信息测度6等。之后，人们开始逐渐将Toma的经 的运算及HFS套的概念。此外，为定义集成算子， 典犹豫模糊集拓展到更复杂的情形。Zhu等)利用 犹豫集的隶属度和非隶属度提出了双重犹豫模糊 收稿日期：2017-04-20.网络出版日期：2017-07-03. 集的概念。Chen等[]提出了一种隶属度为区间值 基金项目：安徽省自然科学基金面上项目(1708085MF163). 通信作者：郑婷婷.E-mail:t-小emg@163.com. 的区间值犹豫模糊集模型。Qian等[9)利用一些直第 １２ 卷第 ３ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１２ №．３ ２０１７ 年 ６ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｊｕｎ． ２０１７ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１７０４０２６ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１７０７０３．１８５３．０１２．ｈｔｍｌ 犹豫模糊集的 α⁃截集及其应用 郑婷婷，桑小双，马斌斌 （安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 ２３０６０１） 摘 要：经典截集是联系模糊集和清晰集的桥梁。 犹豫模糊集作为经典模糊集的拓展，它的相关理论研究还不够深 入，特别是它与经典Ⅰ型模糊集以及其他模糊集之间的关系还缺少讨论。 通过分析犹豫模糊集与Ⅰ型模糊集、区间 Ⅱ型模糊集之间的关系，引入了犹豫模糊集的 α⁃截集的概念并讨论其性质，根据该截集推导出犹豫模糊集的分解 （表示）定理和更普适的扩展原则。 通过分析相关性质及仿真实例，说明了犹豫模糊集的截集概念的合理性，为犹豫 模糊多属性决策和聚类分析等问题提供了新的方法。 这些结果也极大丰富了犹豫模糊集的相关基础理论。 关键词：犹豫模糊集；Ⅰ型模糊集；区间Ⅱ型模糊集；α⁃截集；分解定理；扩展原则；多属性决策；聚类分析 中图分类号：ＴＰ１８；Ｏ１５９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１７）０３－０３６２－０９ 中文引用格式：郑婷婷，桑小双，马斌斌．犹豫模糊集的 α－截集及其应用［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１７， １２（３）： ３６２－３７０． 英文引用格式：ＺＨＥＮＧ Ｔｉｎｇｔｉｎｇ，ＳＡＮＧ Ｘｉａｏｓｈｕａｎｇ，ＭＡ Ｂｉｎｂｉｎ． α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｏｆ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１７， １２（３）： ３６２－３７０． α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｏｆ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ＺＨＥＮＧ Ｔｉｎｇｔｉｎｇ， ＳＡＮＧ Ｘｉａｏｓｈｕａｎｇ， ＭＡ Ｂｉｎｂｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｅｆｅｉ ２３０６０１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｃｕｔ ｓｅｔ ｉｓ ａ ｂｒｉｄｇｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｃｌａｒｉｔｙ ｓｅｔｓ． Ｔｈｅ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ （ＨＦＳ） ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ ａｎ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ， ｈａｓ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｉｌｌ ｄａｔｅ； ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｌｅｓｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ＨＦＳ ａｎｄ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｙｐｅ⁃Ｉ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｏｒ ｏｔｈｅｒ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ＨＦＳ ａｎｄ ｔｙｐｅ⁃１ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ＨＦＳ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ， ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｏｆ ＨＦＳ， ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅｉｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ， ｔｈｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ （ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ） ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆ ＨＦＳ ｂａｓｅｄ ｏｎ α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｗｅｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ． Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ α⁃ｃｕｔ ｓｅｔ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｎｏｖｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｍａｋｉｎｇ ａｎｄ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｄｅｅｐｌｙ ｅｎｒｉｃｈ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ＨＦＳ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ； ｔｙｐｅ⁃１ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ； ｉｎｔｅｒｖａｌ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ； α⁃ｃｕｔ ｓｅｔ； ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ； ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ； ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｍａｋｉｎｇ； ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ 收稿日期： ０１７－０ ２０． 期：２０１７－０７－ 基金项目： ２ 安徽省自 ４－ 然科学基 网 金 络 面 出 上 版 项 日 目（１７０８０８５ＭＦ１ ０ ６ ３ ３ ． 作为直觉模糊集和模糊多值集的一种新的拓 展，犹豫模糊集（ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ， ＨＦＳ）由 Ｔｏｒｒａ 于 ２００９ 年提出［１－２］ ，它的隶属函数是由［０，１］ 上所有 可能的不同值的子集所组成的。 Ｔｏｒｒａ 介绍了 ＨＦＳ 的运算及 ＨＦＳ 套的概念。 此外，为定义集成算子， Ｔｏｒｒａ 提出了 ＨＦＳ 的扩展 通信作者：郑婷婷．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｔｔ⁃ｚｈｅｎｇ＠ １６３．ｃｏｍ． 原则，并将此原则用于证 实他定义的运算的合理性［１］ 。 还有很多学者讨论 了 ＨＦＳ 上的距离和相似性度量［３－４］ 、相关系数［５］ 及 信息测度［６］ 等。 之后，人们开始逐渐将 Ｔｏｒｒａ 的经 典犹豫模糊集拓展到更复杂的情形。 Ｚｈｕ 等［７］利用 犹豫集的隶属度和非隶属度提出了双重犹豫模糊 集的概念。 Ｃｈｅｎ 等［８］ 提出了一种隶属度为区间值 的区间值犹豫模糊集模型。 Ｑｉａｎ 等［９］ 利用一些直 )