f(x,y)d=f(x(5,m),y(,) (D) T (5,m) dud (5,m)|ax,v (x0 a(r,y) d(u, v) 因此 f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy ∑』x(x)y =f(x(x,),y(a,) a(x, duds 证毕 5.n重积分的变量代换公式 对于n重积分的变量代换,我们不加证明给出公式: 设U为R”(n>2)上的开集,映射 y1=y1(x1,…,xn),…,yn=yn(x1…,xn) 将U一一对应地映到VcR"上。进一步假设 y1=y1(x1…,xn)…yn=yn(x1,…,x)都具有连续偏导数,而且这个映射的 Jacobi行列式不等于零 设g为U中具有分片光滑边界的有界闭区域,则有与二维情形类似的结论: 定理2映射T和区域Ω如上假设。如果f(y1,y2…yn)是T(g)上的连续函 数,那么变量代换公式 f(n…yn)地…=∫/(y(x)…,y,(x) y 成立,其中x=(x1,…,xn)。 4.注意点 1.重积分变量代换的概念,是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通 过类比方法,写出重积分变量代换的公式,使得学生先有一个对重积分变量代换 的概念,然后再来证明,学生也就容易理解。同时通过类比,使学生容易记住这 重要的公式。 将一般的变量代换视为向量值函数,将它分解为两个本原变换的复合,也就 是将复杂的函数分解成简单函数的复合,将问题化为对简单函数的证明,这是数 学上常用的一种方法,通过学习,希望同学掌握这一方法 3.在证明中,我们只考虑了包含在区域D内的小矩形,这是因为区域D具有零 边界。通过学习,要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = )( )( 1 ),( ),( ),( )),(),,(( i T i T dd yx dxdyyxf yxf D D ηξ ηξ ηξηξ ∫∫ 。 ∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = i i dudv vu yx vuyvuxf dudv vu yx vuvuyvuvuxf D D ),( ),( )),(),,(( ),( ),( ),( ),( ))),(),,(()),,(),,((( ηξ ηξ ηξηξ 因此 . ),( ),( ),(),,(( ),( ),( ),(),,(( ),( ),( 1 )( 1 )( ∑∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = = D D D D dudv vu yx vuyvuxfdudv vu yx vuyvuxf dxdyyxf dxdyyxf M i i M i i T T 证毕 5． 重积分的变量代换公式 n 对于 重积分的变量代换，我们不加证明给出公式： n 设U 为 n R （ ）上的开集，映射 n > 2 ),,(,),,,(: 111 n nn 1 n = LL = L xxyyxxyyT 将 一一对应地映到 上。进一步假设 都具有连续偏导数，而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。 U n ⊂ RV y yx x y yx x 1 11 = = n nn 1 ( , , ), , ( , , ) LL L n 设 Ω 为 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论： U 定理 2 映射T 和区域 Ω 如上假设。如果 21 L yyyf n ),,,( 是T (Ω)上的连续函 数，那么变量代换公式 ∫ ∫ Ω Ω = n n n n T n n dxdx xx yy yyfdydyyyf L L L L L L 1 1 1 1 )( 1 1 ),,( ),,( ),,( ))(,),(( ∂ ∂ xx 成立，其中 x = 1 L xx n ),,( 。 4．注意点 1．重积分变量代换的概念，是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通 过类比方法，写出重积分变量代换的公式，使得学生先有一个对重积分变量代换 的概念，然后再来证明，学生也就容易理解。同时通过类比，使学生容易记住这 一重要的公式。 2．将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，也就 是将复杂的函数分解成简单函数的复合，将问题化为对简单函数的证明，这是数 学上常用的一种方法，通过学习，希望同学掌握这一方法。 3．在证明中，我们只考虑了包含在区域 内的小矩形，这是因为区域 具有零 边界。通过学习，要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。 D D 5