8 高等数学重点难点100讲 例Ⅱ设对-切实数x有(x+)=2+()-鬥(试证f(x)是周期函 数 (x+1)+2」-2+√(x+2)-(x+ xv2+√G)-(a-门+√f(x)-f(x f(x)+尸2(x) √(2-f(x) 1+2 由已知条件知对一切实数x有f(x+3)≥,(x∈R).所以f(x+1)=y+f(x) 1=f(x)(x∈R),故f(x)是周期为1的函数 如何判断一个函数y=f(x)是否为周期函数呢?若l为函数y=f(x)的周期,则对任 何x(定义域内的)都应有f(x+l)-f(x)=0.在上式中,将l看成未知量求解,若解出的 l依赖于自变量x或为零,则f(x)不是周期函数;若可以求出不依赖于x的非零数解(一般 地都不惟一),则f(x)是周期函数 例12f(x)=sin是否为周期函数? 解f(x+l)-f(x)=sin 2r+l +i sin=-2sin 2r(x +7) 2r(2r+l) 若l为周期,则应有 In 2x(2x+ 0,或cos x+l (2x+=0 显然,满足上述两式的非零常数4是不存在的.例如,若 sIn 2r(x+D=0,则 2x(x+D=k(=0,±1,±2…) 即有l=2xkx(x+l).解出l 2k 2k丌x ,这表明l随x而改变·若c os prlr +)=0,同 理可得出l依赖于x的结论.所以,函数f(x)=sin不是周期函数 例13讨论f(x)=sinx2是不是周期函数 解f(x)的零点为x2=kr,即x=±√kr,相邻两零点的距离 d=√(k+1)元一√kr= √k+1+√k 可见:零点分布随k的不同而不同,没有周期性,因此∫(x)不是周期函数 由定义判断函数是否是周期函数或求周期函数的周期比较困难,有时利用“若f(x)的 最小正周期为,则f(ax+b)(a>0)的最小正周期为”的结论求周期函数的周期比较方 便.例如,因为sinx的周期为2x,故Asin(ax+q)(A、v9均为常数,且A≠0,a>0)的周 期为.所以,记住sinx,cosx(周期为2x),tanx,cotx,| sinr,|cosx|(周期为)等周期函 数的周期,用它们求其他有关周期函数的周期就比较方便了