Methods of Mathematical Physics(2016.10) napter 5 Calculations on definite integrals YLMaaPhys FDU 只当这两个积分存在时,f(xx才存在。考察极眼m/(xdx,显然这是 前者的特殊情形。当此极限存在时,前者可能不存在,但前者存在时,后者必存 在,并且两者相等。故通常称前者为一般值,把后者称为积分主值(按柯西的定 义)。P「f(x)dr=imf(x)d 同理,当∫(x)在[b上有不连续点c[在c点f(x)无界且c仅是单极点时 其一般值定义为∫(x)x=mJf(x)dx+mJf(xx,而其主值定义为 /x=2C/x)+(x]上面例3在三个地方均取了积分主值 3.「f(x)emdx(m是非零实常数 Fourier transform) 条件:设m>0 (1)由f(x)唯一确定的函数f(x)除在上半平面(Imz>0)只有有限个 (孤立)奇点并且在实轴上最多有有限个单阶极点以外是解析的 (2)在实轴和上半平面内,当z→>∞时,f()→0 (上面计算f(x)dx时要求孑(-)→0,利用 Jordan lemma 现在计算 Fourier Transform(x)-d时,要求f()=0) 结论:「(xdx=2m∑Res[()=]+m∑Res[/()em 证明:(1)先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以-R~R的实轴为一边,补充上半圆C(2=R) ∮f(=)e"d= R/(x)e"mdx+。(md 因为limf(=)=0,根据引理3( Jordan lemma) in[f(=)d=0于是,取极限R→∞就得到 ∫fx)ldx=2i∑Rs[fcl] (2)实轴上存在一阶极点的情况。Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 15 只当这两个积分存在时，   − f (x)dx 才存在。考察极限 → − R R R lim f (x)dx ，显然这是 前者的特殊情形。当此极限存在时，前者可能不存在，但前者存在时，后者必存 在，并且两者相等。故通常称前者为一般值，把后者称为积分主值（按柯西的定 义）。 ( )d lim ( )d . R R R f x x f x x + → − − =   P 同理，当 f (x) 在 a,b 上有不连续点 c [在 c 点 f (x) 无界且 c 仅是单极点]时， 其一般值定义为 1 1 2 0 0 2 ( )d lim ( )d lim ( )d , b c b a a c f x x f x x f x x     − → → + = +    而其主值定义为 0 ( )d lim ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x    − → +   = +        P 上面例 3 在三个地方均取了积分主值。 3．   - f (x)e dx imx ( m 是非零实常数,Fourier Transform) 条件：设 m  0， (1) 由 f (x) 唯一确定的函数 f (z) 除在上半平面（ Im z  0) 只有有限个 (孤立)奇点并且在实轴上最多有有限个单阶极点以外是解析的； (2) 在实轴和上半平面内，当 z → 时， f (z)  0 . （上面计算 f x x ( )d + − 时要求 ( ) 0 z zf z →  , 利用 Jordan lemma， 现在计算 Fourier Transform   - f (x)e dx imx 时, 要求 ( ) 0. z f z →  ） 结论： - ( ) d 2 Res ( ) Res ( ) . imx imz imz f x e x i f z e i f z e     = +            上半平面内 复平面实轴上 证明：（1）先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以 − R ~ R 的实轴为一边，补充上半圆 C (z R) R = ： ( ) d ( ) d ( ) d = 2 Res ( ) . R R imz imx imz C R C imz C f z e z f x e x f z e z i f z e − = +         又 内 因为 lim ( ) = 0 → f z z ，根据引理 3（Jordan lemma） lim ( ) d 0. R imz R C f z e z → =  于是，取极限 R → 就得到 - ( ) d 2 Res ( ) . imz imz f x e x i f z e    =       上半平面内 （2）实轴上存在一阶极点的情况