第十章函数项级数 习题10.1函数项级数的一致收敛性 1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 1)S(x)=c, (1)x∈(0,1), (i)x∈(1,+∞) (2)S(x)=xe", x∈(0,+∞) (3)S,(x)=sin (1)x∈(-∞,+∞), (i)x∈[-A,4](A>0); (4)Sn(x)=arctan nx (1)x∈(0,1), (i)x∈(1+∞); (5)S(x)=1x2+, x∈(-∞,+∞); x∈[0,1] (7)Sn(x)=In- (1)x∈(0,1), (i)x∈(1+∞); (8)Sn(x)= (1)x∈(0,1) (i)x∈(1,+∞); (9)S(x)=(sinx)", x∈[0,x]; 0S队(x)=(sinx),(i)x∈[0,z],(i)x∈[,丌-6](δ>0) )S(x)=(1+x), (1)x∈(0,+∞),(i)x∈(0,4](A>0); n (2)S,(x)= x (i)x∈(0+∞),(i)x∈[6+∞)δ>0。 解(1)(i)S(x) d(Sn,S)=Sup|S2(x)-S(x)=1—/→0(n→∞), 所以S(x)在0.1)上非一致收敛 d(Sn,S)=sup|Sn(x)-S(x)=e-→0(n→∞), 所以{Sx)在(1+∞)上一致收敛 (2)S(x)=0 d(Sn,S)=sup|sn(x)-S(x)=→0(n→∞),第十章 函数项级数 习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞)； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) )； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,π ]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (0,+∞)， (ii) x∈ (0, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 解 （1）(i) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0,1) d S S S x S x n x n = − ∈ = 1 ─/→ 0（n → ∞）， 所以{S x n ( )}在(0,1)上非一致收敛。 (ii) S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (1, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ n e− = → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在(1,+∞)上一致收敛。 （2）S(x) = 0， ( , ) sup ( ) ( ) (0, ) d S S S x S x n x n = − ∈ +∞ ne 1 = → 0 (n → ∞)， 1