(1)若limf(x)=∞,那么能否断定也有limf(x)=∞? (2)若limf(x)=o,那么能否断定也有limf(x)=∞? 解(1)不一定。反例:f(x)=1+c0s1,a=0,lmf(x)=+∞, f(x)=(-1+sin-),limf(x)=∞不成立。 (2)不一定。反例:f(x)=√x,a=0,limf(x)=im +∞ 而 √x limf(x)=0≠∞ 11.设函数f(x)满足f()=0。证明f(x)在x=0处可导的充分必要条件 是:存在在x=0处连续的函数g(x),使得f(x)=xg(x),且此时成 立f()=g(0) 证充分性。由f(x)=x(x)可知lm(x)-/0)=img(x)=g(0),故(x)在 x=0处可导,且成立f(0)=g(0)。 必要性。令g(x)=x x≠0 ,则f(x)=xg(x),且 厂(0),x=0 imng(x)=m(x)-0=(0)=g(0),即g(x)在x=0处连续。 63⑴ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + = ∞ lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ ？ ⑵ 若 lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ ，那么能否断定也有 lim ( ) x a f x → + = ∞？ 解（1）不一定。反例： x x f x 1 cos 1 ( ) = + ，a = 0，x li → + m 0 f x( ) = +∞ ， ) 1 ( 1 sin 1 '( ) 2 x x f x = − + ， = ∞ → + lim '( ) 0 f x x 不成立。 （2）不一定。反例： f (x) = x ，a = 0， 0 0 1 lim ( ) lim 2 x x f x → + → + x ′ = = +∞ ，而 0 lim ( ) 0 x f x → + = ≠ ∞ 。 11．设函数 f (x)满足 f (0) = 0。证明 f (x)在 x = 0处可导的充分必要条件 是：存在在 x = 0处连续的函数 g(x) ，使得 f (x) = xg(x)，且此时成 立 f ′(0) = g(0)。 证 充分性。由 f (x) = xg(x)可知 0 0 ( ) (0) lim lim ( ) (0) x x f x f g x g → → x − = = ，故 f (x)在 x = 0处可导，且成立 f ′(0) = g(0)。 必要性。令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = '(0), 0 , 0 ( ) ( ) f x x x f x g x ，则 f (x) = xg(x)，且 0 0 ( ) (0) lim ( ) lim '(0) (0) x x f x f g x f g → → x − = = = ，即 g(x)在 x = 0处连续。 63