E(X-AY-2)=∫∫(x-Xy-2)p(x,y)b=oa2 ∞-∞ DX√DY 的性质 L l 2.|pxy1分PY=ax+b}=1,即X,Y几乎处处呈线性相关。 X-EX Y-EY 证明:pxy=cov( DX DY X-EX Y-EX l、构造:z D(Z=DI X-EX Y-EX DX DI X-EX X-EX Y-EY 7Dx)+D、Dy2)2co 1+1±2pxy=2(1±pxy)≥0 所以 ≤Pxy≤1即|pxy 2、充分性:设P{Y=aX+b}=1 Y=ax+b as ey=aex +b. dy=adx E(X-EXY-ED GE(X -EX) /τ Y DX√a2Dx|al I Pxr =l 必要性:设Pxy|=1,即pxy=±1 由于D X-EX Y-EX )=2(1xy) 当pxy=1时,有D( X-EX Y-Ey )=2(1-pxy)=0= E(X )(Y ) (x )( y ) p(x, y) dxdy = − µ1 − µ2 = ∫ ∫ − µ1 − µ2 +∞ −∞ +∞ −∞ ρσ1 σ 2 ρ σ σ ρσ σ ρ = = = 1 2 1 2 cov( , ) DX DY X Y X Y ρ X Y 的性质： 1．| ρ X Y | ≤ 1 2．| ρ X Y |=1⇔ P{Y = aX +b}=1，即 X,Y 几乎处处呈线性相关。 证明： ρ X Y = cov( , ) DY Y EY DX X − EX − 1、 构造： DY Y EY DX X EX Z − ± − = ( ) ( ) 2cov( , ) ( ) [ ] DY Y EY DX X EX DY Y EY D DX X EX D DY Y EY DX X EX D Z D − − ± − + − = − ± − = =1+1± 2ρ X Y = 2(1± ρ X Y ) ≥ 0 所以 −1 ≤ ρ X Y ≤ 1 即 | ρ X Y | ≤ 1。 2、 充分性： 设 P{Y = aX + b} = 1 Y = aX + b , a.s EY aEX b DY a DX 2 = + , = ρ X Y = | | ( )( ) ( ) 2 2 a a DX a DX aE X EX DX DY E X EX Y EY = − = − − | ρ X Y |= | | a | a | =1 必要性：设| ρ X Y |=1，即 ρ X Y = ±1。 由于 ( ) 2(1 ) = ± ρ X Y − ± − DY Y EY DX X EX D 当 ρ X Y =1 时，有 ( ) = 2(1− ) = 0 − − − X Y DY Y EY DX X EX D ρ