。144 北京科技大学学报 第33卷 面的最大挠度（中心挠度）为 w= 69 (4) E fE+ -T一 式中， 子++ 图2Buer体物理本构模型 Fg2 Bugers physical constitutive molel 1.3顶板边缘破坏之后位移方程 四边铰支的边界条件为 wl士=0wsb=0 寻w a w =0丽±=0 0汉无士n (5) 取试函数为 ww cot xcot y (6) 2a 2b 同理，由迦辽金法求得 ca 图3Bu呕er体蠕变曲线 w- E+FE (7) Fig 3 Creep curve for the Burgersmodel 1~ 式中，- g=π2i1+12 式种，用=餐++号母=装9=9= 192aTB· 1112 2微分形式的线性黏弹性本构关系 根据式(11)和式（12，对于Bus体的 采用线性黏弹性模型，简单应力状态下如单 Laplace变换等效松弛模量为 轴压缩或纯剪)微分形式的材料本构关系可以表 0 Q9=9=9斗93 示为 EP 1+月+B3 (13) Po=Q (8) 21复杂应力状态下微分形式的黏弹性本构模型 式中，P和Q为对时间的线性微分算子，形式如下： 复杂应力状态下，由于黏弹性材料对剪应力 会易Q-宫月 (9) (偏应力)和静水应力响应不同，习惯上将黏弹性本 构关系表示为偏张量和球张量的形式： 对式(8)进行Laplace变换（初值条件为0） B(9=Qd(9 得到 (14) P(今G(习=(B+胃斗93+…十BS)。(9= Boi(=QEi( 式中，、B、Q和Q为对时间的微分算子，同 Q可et9=(9+9斗g3+.+9$)et9 式(8，和份别为应力和应变张量，σ和e分 (10) 别为应力和应变球张量. 式中，为L即ce变量. 对于弹性各向同性材料，本构关系可以表示为： 由式(10)Laplac变换后松弛模量可以表示为 =2Gdj 。Q9=9 (15) (11) eP(可 0i=3Ki 通过式(14入式(15河以得出如下关系： 由Kevm体和Mawe体串联组成的Bugers 体，具有四个可调参数，可以描述第三期蠕变前的蠕 G 2P K19 3B (16) 变曲线，灵活实用，其物理模型及蠕变曲线如 式中，G和K分别为剪切模量和体积模量.弹性模 图2和图3所示. 量Ev与GK有如下关系： Bugers体本构模型见下式2-， E9KG 张器 (17) G+Po+Ro=9e+9e (12)北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 面的最大挠度(中心挠度)为 w0 = c0 q c1 Ep +c2 Er 1 -ν 2 (4) 式中, c0 = 441 128 , c1 = nA 2abH , c2 = 3h 3 4 7 a 4 + 4 a 2 b 2 + 7 b 4 . 1.3 顶板边缘破坏之后位移方程 四边铰支的边界条件为 w x=±a =0, w y=±b =0, 2w x 2 x=±a =0, 2 w y 2 y=±b =0 (5) 取试函数为 w=w0cos πx 2a cos πy 2b (6) 同理, 由迦辽金法求得 w0 = c0′q c′1Ep + c2′Er 1 -ν 2 (7) 式中, c0′= 16 π 2 , c′1 = nA 4abH , c2′= π 2h 3 192 1 a 2 + 1 b 2 2 . 2 微分形式的线性黏弹性本构关系 采用线性黏弹性模型, 简单应力状态下 (如单 轴压缩或纯剪 )微分形式的材料本构关系可以表 示为 Pσ=Qε (8) 式中, P和 Q为对时间的线性微分算子 ,形式如下 : P=∑ a r=0 pr r t r, Q=∑ b r=0 qr r t r (9) 对式 (8)进行 Laplace变换 (初值条件为 0) 得到 P (s)σ (s)=(p0 +p1 s+p2 s 2 +… +pas a)σ (s)= Q (s)ε (s)=(q0 +q1s+q2s 2 +… +qbs b)ε (s) (10) 式中, s为 Laplace变量 . 由式(10)Laplace变换后松弛模量可以表示为 σ ε = Q (s) P (s) =sE (s) (11) 由 Kelvin体和 Maxwell体串联组成的 Burgers 体 ,具有四个可调参数 ,可以描述第三期蠕变前的蠕 变曲线 , 灵活实用 [ 14] , 其物理模型及蠕变曲线如 图 2和图 3所示 . Burgers体本构模型见下式 [ 12--17] : σ+p1 σ · +p2σ ·· =q1 ε · +q2 ε ·· (12) 图 2 Burgers体物理本构模型 Fig.2 Burgersphysicalconstitutivemodel 图 3 Burgers体蠕变曲线 Fig.3 CreepcurvefortheBurgersmodel 式中 , p1 = η1 k1 + η1 k2 + η2 k2 , p2 = η1 η2 k1 k2 , q1 =η1 , q2 = η1 η2 k2 . 根据 式 (11)和式 (12), 对于 Burgers体 的 Laplace变换等效松弛模量为 σ ε = Q (s) P (s) =sE (s)= q1s+q2s 2 1 +p1s+p2s 2 (13) 2.1 复杂应力状态下微分形式的黏弹性本构模型 复杂应力状态下, 由于黏弹性材料对剪应力 (偏应力)和静水应力响应不同 ,习惯上将黏弹性本 构关系表示为偏张量和球张量的形式: P1sij(t)=Q1dij(t) P2σii(t)=Q2 εii(t) (14) 式中 , P1 、 P2 、 Q1 和 Q2 为对时间的微分算子 , 同 式(8).sij和 dij分别为应力和应变张量, σii和 εii分 别为应力和应变球张量 . 对于弹性各向同性材料 ,本构关系可以表示为: sij=2Gdij σii =3Kεii (15) 通过式(14)、式 (15)可以得出如下关系: G= 1 2 Q1 P1 , K= 1 3 Q2 P2 (16) 式中 , G和 K分别为剪切模量和体积模量 .弹性模 量 E、ν与 G、K有如下关系 : E= 9KG 3K+G , ν= 3K-2G 6K+2G (17) · 144·