因为均匀分布U(0,0)的支撑集依赖于0，似然函数L(0,x)=f(x,)作为9的函数不是连续函数， 因此不能用对然函数求微商的办法去求的MLE.只能从MLE的定义出发来讨论， 为使L(,x)达到极大，由(1.4)式可见，应使分母上的0尽可能地小，但0又不能太小，太小 了使似然函数变为0了.这个界限就取在 max(X1,...,Xn)=X(n). 因此*=Xm)就是的MLE. (2)为求E(Xm),就要算出T=Xm的密度函数，易求T的密度函数 ntn-i 当0≤t≤8 g(t,) (1.5) 0 其它， 故有 E(0*)=E(T)= ntn on dt=n *79 故*=Xm不是的无偏估计.显见 0=+1X() 为的无偏估计 (3)0的矩估计01=2X是0的无偏估计.由于 D(©)=92/n(n+2l, D(01)=02/3n, 所以在n≥2时比01有效.在n=1时1=1，即这两个估计是相同的. (4)已知T的密度函数由(1.5)给出，故有 P(I0*-l≥e)=1-P(I0-l<e)=1-P(0-e<T<0+e) ntn-1 =1- ”t=1-o-0-川=1-》” 因此有 1imP(Ie*-l≥e)=1im(1-e/0)”=0, n-o 故知8*=X(o)为的弱相合估计。 例7.设X=(X1,·,Xn)是从均匀分布族{U(0,0+1)：-o0<0<+oo}中抽取的简单样 本，求0的MLE 解给定样本x时，的似然函数为 0,=0 J18≤x1)≤x(m)≤6+1 其它 这时，似然函数只取1和0两个值，只要0≤正)和0+1≥xm都可使L达到极大.故的MLE不 止一个，如 (X)=Xu,(X)=X(m-1 都是0的MLE.事实上对任给的0<入<1， *(X)=λ1(X)+(1-A)(X)=λX)+(1-)(Xm)-1) 都是的MLE,故知的MLE有无穷多个 >œè˛!©ŸU(0, θ)|†8ù6uθ,q,ºÍL(θ, x) = f(x, θ)äèθºÍÿ¥ÎYºÍ, œdÿU^È,ºÍ¶á˚ç{¶θMLE. êUlMLE½¬—u5?ÿ. è¶L(θ, x)à4å, d(1.4)™åÑ, A¶©1˛θ ¶åU/, θqÿU,  ¶q,ºÍCè0 . ˘á.Å“3 ˆθ ∗ = max(X1, · · · , Xn) = X(n) . œdˆθ ∗ = X(n) “¥θMLE. (2) è¶E ￾ X(n)
,“áé—T = X(n)ó›ºÍ, ¥¶T ó›ºÍ g(t, θ) = ( ntn−1 θn  0 ≤ t ≤ θ 0 Ÿ ß, (1.5) k E( ˆθ ∗ ) = E(T) = Z θ 0 ntn θ n dt = n n + 1 θ, ˆθ ∗ = X(n)ÿ¥θÆO. wÑ ˆθ ∗ 1 = n + 1 n X(n) èθÆO. (3) θ›Oˆθ1 = 2X¯¥θÆO. du D( ˆθ ∗ 1 ) = θ 2  [n(n + 2)], D( ˆθ1) = θ 2  3n, §±3n ≥ 2ûˆθ ∗ 1'ˆθ1k. 3n = 1ûˆθ ∗ 1 = ˆθ1,=˘¸áO¥É”. (4) ÆTó›ºÍd(1.5)â—, k P (| ˆθ ∗ − θ| ≥ ε) = 1 − P(| ˆθ ∗ − θ| < ε) = 1 − P(θ − ε < T < θ + ε) = 1 − Z θ θ−ε ntn−1 θ n dt = 1 − 1 θ n θ n − (θ − ε) n =  1 − ε θ n . œdk limn→∞ P(| ˆθ ∗ − θ| ≥ ε) = limn→∞ ￾ 1 − ε/θ
n = 0, ˆθ ∗ = X(n)èθfÉ‹O. ~7. X = (X1, · · · , Xn)¥l˛!©Ÿx{U(θ, θ + 1) : −∞ < θ < +∞}•ƒ{¸ ,¶θMLE. ) â½xû, θq,ºÍè L(θ, x) = ( 1 θ ≤ x(1) ≤ x(n) ≤ θ + 1 0 Ÿß, ˘û, q,ºÍê1⁄0¸áä, êáθ ≤ x(1)⁄θ + 1 ≥ x(n)—å¶Là4å. θMLEÿ éòá, X ˆθ ∗ 1 (X) = X(1), ˆθ ∗ 2 (X) = X(n) − 1 —¥θMLE.Ø¢˛È?â0 < λ < 1, ˆθ ∗ (X) = λˆθ ∗ 1 (X) + (1 − λ) ˆθ ∗ 2 (X) = λX(1) + (1 − λ) ￾ X(n) − 1
—¥θMLE, θMLEkðıá. 7