84 Convergence of Iterative methods 定理(充分条件)若4为严格对角占优阵 /* strictly diagonally dominant matriⅸx*则解AX=b的 Jacob和 Gauss Seidel迭代均收敛。 证明:首先需要一个引理 Lemma 显然 若4为SDD阵,则de(4)≠0,且所有的a≠0。 我们需要对 Jacobi迭代和 Gauss-Seidel迭代分别 证明:任何一个孔|≥1都不可能是对应迭代阵的 特征根,即|-B|≠0。 Jaco hi 关于 Gauss-Seidel迭代的证明 与此类似(p73)。 另一种证明引理的方法利用 Gersgorin Disc Theorem(p.72) HW: D p.76#1§4 Convergence of Iterative methods 定理 （充分条件）若A 为严格对角占优阵 /* strictly diagonally dominant matrix */ 则解 的Jacobi 和 Gauss - Seidel 迭代均收敛。 Ax b   = 证明：首先需要一个引理 /* Lemma */ 若A 为SDD阵，则det(A)  0，且所有的 aii  0。 证明：若不然，即det(A) = 0，则 A 是奇异阵。 存在非零向量 x0 (x1 , x2 , xn ) T 使得  = 0. 0   Ax = 记 | | max | | 1 i i n xm x   = = = n i m i i a x 1 0     =  i m m mi i m | amm xm | ami xi | x | | a | 显然 我们需要对 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel迭代分别 证明：任何一个|  |  1 都不可能是对应迭代阵的 特征根，即 | I − B |  0 。 Jacobi: BJ = −D−1 ( L + U ) | | | ( )| 1 I − B = I + D L+U −   | ( )| | || | 1 1 = D D + L+U = D D + L+U − −   aii  0 ij a ij a           nn a a   11 如果 |  |  1 则     j i ai i ai i ai j |  | | | | | 是SDD阵 | I − B |  0 ✓ HW: p.76 #1 关于Gauss-Seidel迭代的证明 与此类似 (p.73)。 另一种证明引理的方法利用 Geršgorin Disc Theorem (p.72)