第5期 王雯，等：概念格在不完备形式背景中的知识获取模型 ·1049· 集已经取得了大量的研究成果。把缺失值理解为 (X1,B1)≤(X2,B2)台X1≤X2台B2≤B 任何可能值，Kryszkiewicz-提出了基于容差关 基于上述认识和理解，一个格代数结构 系的拓展粗糙集模型，其中容差关系满足自反性 (B(K),≤)可以从K中推导出来，其中B(K)是K中 和对称性，随后，将缺失值视为不存在或是不允 所有概念的集合。关于概念格详细资料请查阅文 许比较的未知值，Stefanowski提出了基于不对 献[17刀。 称相似关系（满足自反性和传递性）的粗糙集拓 对象和属性之间的关系如果存在缺失，则称 展模型，结合上述2种模型的优点，王国胤进一 (G,M)是一个不完备形式背景。一个典型的不 步提出了基于限制容差关系（满足自反性和对称 完备形式背景如表1所示，其中，若x∈G和 性)的扩充模型，该模型相对以往模型更加符合 m∈M之间的关系是缺失的（即无法确定是 实际，Leung等将极大相容类视为一个粒，探讨 (x,m)eI还是(x,m)生I),则记为m(x)=*。 了不完备信息系统中的知识获取，张文修将不 表1一个典型的不完备形式背景 完备信息系统理解为一个集值信息系统，并探讨 Table 1 A typical incomplete formal context 了面向集值的相容关系。 d 目前，关于不完备信息系统已有大量的研究 成果，然而对于不完备形式背景的分析处理尚处 于起步阶段6。从研究对象来讲，形式背景本 0 质上是一种特殊的信息系统，它们之间存在着天 0 然联系，具有较强的相容性，这也意味着面向不 完备信息系统的知识获取方法对于不完备形式背 0 0 景的处理具有一定的借鉴作用。事实上，将不完 6 0 0 备信息系统中的方法推广到不完备形式背景中， 1 也是一项非常有意义的研究工作，其不仅能为不 完备形式背景的分析处理提供必要的支撑，而且 9 也有助于概念格与粗糙集的理论融合。 考虑到不完备形式背景的普遍性以及经典概 2 念格的局限性，在概念格框架体系中，本文融入 概念格与粒化分析 了粗糙集中的粒化思维，探讨了概念格视角下的 等价类、极大相容类等是粗糙集中的基本 信息粒化，提出了基于等价类和基于极大相容类 粒。在粒内部，不同对象往往拥有相同的特征和 的知识获取方法。这些方法一方面有助于概念格 相近的特征值，这就意味着粒内部不同对象之间 与粗糙集的融合，另一方面也为探索不完备形式 的特征值是可以相互借鉴的。据此，本文尝试在 背景的分析处理机制提供了有益思路。 概念格理论框架内探讨基于二元关系的信息 粒化。 1概念格基本知识 二元关系与形式背景存在着天然联系，它们 通常，称(G,M,I)是一个形式背景，若G是 之间可以相互表示。通常，二元关系有2种不同 对象集，M是属性集，I表示G和M之间的二元 的类型，即内部二元关系和外部二元关系。其 关系。在此意义下，(x,m)∈I或m(x)=1表示对象 中，内部二元关系存在于单个集合的内部，例如， x∈G拥有属性m∈M,相反，(x,m)生I或m(x)=0 偏序集(V,≤)中的序关系“≤”即是一种内部二元 表示对象x不拥有属性m。 关系；外部二元关系是指存在于集合之间的关 定义1在K=(G,M,I)中，对于任意Xe2G和 系，例如，(V,W,≤)中的序关系“≤”即是一种外部 B∈2M,相应的经典内涵算子与外延算子定义为 二元关系。 X={m∈M(x,m)∈I,Hx∈X) (1) 推论1内部二元关系是一种特殊的外部二 B={x∈G(x,m)∈L,Vm∈B) (2) 元关系。例如，虽然(V,≤)与(V,V,≤)在形式上存 式中2是集合X的幂集。若B=X且X=B,称 在一定差异，但本质上却是相同的。 (X,B)是一个概念，其中X和B分别称为概念的 推论2内部二元关系与外部二元关系均可 外延和内涵。在此意义下，任意概念(X,B)和 以表示为形式背景。在下文中，无论是内部还是 (X2,B2)之间的序关系定义为 外部二元关系均统一表示为形式背景。集已经取得了大量的研究成果。把缺失值理解为 任何可能值，Kryszkiewicz[5-6] 提出了基于容差关 系的拓展粗糙集模型，其中容差关系满足自反性 和对称性，随后，将缺失值视为不存在或是不允 许比较的未知值，Stefanowski[7] 提出了基于不对 称相似关系 (满足自反性和传递性) 的粗糙集拓 展模型，结合上述 2 种模型的优点，王国胤[4] 进一 步提出了基于限制容差关系 (满足自反性和对称 性) 的扩充模型，该模型相对以往模型更加符合 实际，Leung 等 [8] 将极大相容类视为一个粒，探讨 了不完备信息系统中的知识获取，张文修[9] 将不 完备信息系统理解为一个集值信息系统，并探讨 了面向集值的相容关系。 目前，关于不完备信息系统已有大量的研究 成果，然而对于不完备形式背景的分析处理尚处 于起步阶段[10-16]。从研究对象来讲，形式背景本 质上是一种特殊的信息系统，它们之间存在着天 然联系，具有较强的相容性，这也意味着面向不 完备信息系统的知识获取方法对于不完备形式背 景的处理具有一定的借鉴作用。事实上，将不完 备信息系统中的方法推广到不完备形式背景中， 也是一项非常有意义的研究工作，其不仅能为不 完备形式背景的分析处理提供必要的支撑，而且 也有助于概念格与粗糙集的理论融合。 考虑到不完备形式背景的普遍性以及经典概 念格的局限性，在概念格框架体系中，本文融入 了粗糙集中的粒化思维，探讨了概念格视角下的 信息粒化，提出了基于等价类和基于极大相容类 的知识获取方法。这些方法一方面有助于概念格 与粗糙集的融合，另一方面也为探索不完备形式 背景的分析处理机制提供了有益思路。 1 概念格基本知识 (G, M, I) G (x,m) ∈ I m(x) = 1 x ∈ G m ∈ M (x,m) < I m(x) = 0 x m 通常，称 是一个形式背景，若 是 对象集，M 是属性集，I 表示 G 和 M 之间的二元 关系。在此意义下， 或 表示对象 拥有属性 ，相反， 或 表示对象 不拥有属性 。 K = (G, M, I) X ∈ 2 G B ∈ 2 M 定义 1 在 中，对于任意 和 ，相应的经典内涵算子与外延算子定义为 X ∗ = {m ∈ M| (x,m) ∈ I, ∀x ∈ X} (1) B ∗ = { x ∈ G| (x,m) ∈ I, ∀m ∈ B} (2) 2 X X B = X ∗ X = B ∗ (X,B) (X1,B1) (X2,B2) 式中 是集合 的幂集。若 且 ，称 是一个概念，其中 X 和 B 分别称为概念的 外延和内涵。在此意义下，任意概念 和 之间的序关系定义为 (X1 ,B1) ⩽ (X2 ,B2) ⇔ X1 ⊆ X2 ⇔ B2 ⊆ B1 (B(K), ⩽) B(K) 基于上述认识和理解，一个格代数结构 可以从 K 中推导出来，其中 是 K 中 所有概念的集合。关于概念格详细资料请查阅文 献 [17]。 (G, M, I) x ∈ G m ∈ M (x,m) ∈ I (x,m) < I m(x) = ∗ 对象和属性之间的关系如果存在缺失，则称 是一个不完备形式背景。一个典型的不 完备形式背景如 表 1 所示，其中，若 和 之间的关系是缺失 的 ( 即无法确定是 还是 )，则记为 。 表 1 一个典型的不完备形式背景 Table 1 A typical incomplete formal context a b c d e 1 1 1 0 0 1 2 1 * 0 0 0 3 0 0 0 1 1 4 0 * 0 1 1 5 0 1 1 1 0 6 0 1 1 * 0 7 1 0 1 * 1 8 1 0 1 0 1 9 1 * 1 1 1 2 概念格与粒化分析 等价类、极大相容类等是粗糙集中的基本 粒。在粒内部，不同对象往往拥有相同的特征和 相近的特征值，这就意味着粒内部不同对象之间 的特征值是可以相互借鉴的。据此，本文尝试在 概念格理论框架内探讨基于二元关系的信息 粒化。 (V,⩽) ⩽ (V,W,⩽) ⩽ 二元关系与形式背景存在着天然联系，它们 之间可以相互表示。通常，二元关系有 2 种不同 的类型，即内部二元关系和外部二元关系。其 中，内部二元关系存在于单个集合的内部，例如， 偏序集 中的序关系“ ”即是一种内部二元 关系；外部二元关系是指存在于集合之间的关 系，例如， 中的序关系“ ”即是一种外部 二元关系。 (V,⩽) (V,V,⩽) 推论 1 内部二元关系是一种特殊的外部二 元关系。例如，虽然 与 在形式上存 在一定差异，但本质上却是相同的。 推论 2 内部二元关系与外部二元关系均可 以表示为形式背景。在下文中，无论是内部还是 外部二元关系均统一表示为形式背景。 第 5 期 王雯，等：概念格在不完备形式背景中的知识获取模型 ·1049·