Q(a)=f(a,a)=∑∑axx 上式称为二次型函数在E1,E2…,En下的解析表达式。由定义可见,对称双线性函数与二次 型函数一一对应 第五章§2二次型 52l数域上的二次型的定义,二次型∫对应的二次型函数Q(a)的定义;二次型的矩 阵和秩的定义 定义设f(a,B)是数域K上的对称双线性函数∫=∑∑qx,其中(x,x2…x) 和(1,y2,…y)分别为a和B在某组基s,E2…,5n下的坐标, a=an∈K(v1sjsm)取B=a,则f(a,a)=∑∑ %M,称厂=x为 K上的一个n元二次型(即是一个二次齐次函数),其系数矩阵 称为此二次型的矩阵,A的秩r(称为此二次型的秩。而Q(a)=∑∑xx称为二次 型函数 定理数域K上的n元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。 522二次型化为标准形的计算方法(配方法) 分两种情况进行讨论。 (1)、二次型种由某个变量平方项的系数不为零,例如a1≠0,此时把二次型对x1进 行配方得 auxf+2a,x i=2j=2 1x1+ 作变数替换1 1 ( ) ( , ) n n f ij i j i j Q f a x x    = = = =  （ ij ji a a = ） 上式称为二次型函数在 1 2 , , , n    下的解析表达式。由定义可见，对称双线性函数与二次 型函数一一对应。 第五章 §2 二次型 5.2.1 数域上的二次型的定义，二次型 f 对应的二次型函数 () Qf 的定义；二次型的矩 阵和秩的定义 定义 设 f ( , )   是数域 K 上的对称双线性函数 1 1 n n ij i i i j f a x y = = = ，其中 1 2 ( , , , ) n x x x 和 1 2 ( , , , ) n y y y 分别为  和  在某组基 1 2 , , , n    下的坐标， ( 1 , ) ij ji a a K i j n =     。取  = ，则 1 1 ( , ) n n ij i j i j f a x x   = = = ，称 1 1 n n ij i j i j f a x x = = = 为 K 上的一个 n 元二次型（即是一个二次齐次函数），其系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       称为此二次型的矩阵， A 的秩 r A( ) 称为此二次型的秩。而 1 1 ( ) n n f ij i j i j Q a x x  = = = 称为二次 型函数。 定理 数域 K 上的 n 元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。 5.2.2 二次型化为标准形的计算方法（配方法） 分两种情况进行讨论。 （1）、二次型种由某个变量平方项的系数不为零，例如 11 a  0 ，此时把二次型对 1 x 进 行配方得 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 2 12 1 11 1 2 11 11 2 2 2 2 , n n n n ij i j i j n n n n ij i j i j f a x a x x a x x a x x a a a x x x b x x a a = = = = = + + + +   = + + + +         作变数替换