Cl-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Network 1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks diflerential circuit k ()=le“4+(1 Analysis 6t ch dischanging v1(t) v。(t) Overall response: Y(tFYzi(t)+ Yzs(t) C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Netw Analysis 8: Q: the v(=loe+Ro(l-e) Analvsis 7: According to definition, let i(0=Ae/ unit-step response (n=u(n), then: Io=l,o=0 o 1+R·J Response ofrectangular signal oi let:s=lo cos(or)=Re(/) Ealer's formula: ee=cos e ising 口a()=Re(e-) C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks C1-s: Analysis of sinusoidal Steady-state Circuit (phasor method)o he differential equations for the circuit which has N independent dynamie (t) Analysis 8: Q: the steady- When input is x()=Aoee' i ene (e)"+an1 d'mi(n d"(oe) Fw)=I/HGw) Yw) XGw) o)"·le"=(a)yw(t) X(O)Hgo ()=L当O Y(jo)Fujo v(D)=joL·(1) v() steady-state circuit steady-state circuit m=(北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 TEM R + - V1 V2 + - C V 0 t 10τ V 0 t 0.5τ Vi(t) Vo(t) + + - - t Vi (t) Vo(t) changing dischanging 1 5τ “differential circuit” C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 I0 R + Vc(t) - Vc(0)=V0 0 t Vc(t) V0 t≥0+ i(t) 0 t i(t) V0/R ( ) (1 ) ( ) (1 ) / 0 / 0 / 0 0 / τ τ τ τ t t c t t v t V e RI e e I e R V i t − − − − = + − = + − I0 RI Analysis 6： 0 Overall response: Y(t)=Yzi(t)+Yzs(t) Zero-input response Yzi(t) Zero-state response Yzs(t) C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 I0 R + Vc(t) - Vc(0)=V0 0 t Vc(t) V0 t≥0+ i(t) 0 t i(t) V0/R ( ) (1 ) ( ) (1 ) / 0 / 0 / 0 0 / τ τ τ τ t t c t t v t V e RI e e I e R V i t − − − − = + − = + − I0 RI Analysis 7： 0 unit-step response According to definition, let: ( ) (1 ) ( ) / i t e u t −t τ = − 0 1 2 t ( ) 2[(1 ) ( 1) (1 ) ( 2)] ( 1)/ ( 2)/ = − − − − − − − − − i t e u t e u t t τ t τ *** Response of rectangular signal or stair-step signal？ is (t) = u(t),then：I0 =1,V0 = 0 i (t) s solution 2 i (t) = 2[u(t −1) − u(t − 2)] s C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Special solution at steady state j t i t Ae ω ( ) = j t j t j t RC j Ae Ae I e ω ω ω ω + = 0 • • R j C I A + • ω = 1 0 Is R + Vc(t) - Vc(0)=0 t≥0+ i(t) i t Is dt di t RC + ( ) = ( ) Euler's formula : ejθ =cosθ+jsinθ cos( ) Re( ) 0 0 j t Is I t I e ω let： = ω = ( ) Re( ) j t i t Ae ω = Algebra solution differential *** Analysis 8：Q: the steady￾state response of j t Is I e ω = 0 C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 dt dv t i t C dt di t v t L ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) i t j C v t v t j L i t = • = • ω ω Is R + Vc(t) - Vc(0)=0 t≥0+ i(t) i t Is dt di t RC + ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 j I e j i t dt d I e dt di t j t j t = = ω • = ω • ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) j I e j i t dt d I e dt d i t n j t n n n j t n n = = ω • = ω • ω ω Analysis of sinusoidal steady-state circuit phasor method (complex method) C1-4: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks Analysis 8：Q: the steady￾state response of j t Is I e ω = 0 differential 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ... ) ( ) ( ) 1 1 0 ( 1) 1 ( ) a y t x t dt d a dt d a dt d a n n n n n n + + + + = − − − When input is , the zero-state response is j j t x t A e e ϕ0 ω 0 ( ) = j t j j t n j n n n a j a j a j a Y e e A e e ϕ y ω ϕ ω ω ω ω 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ( ) + ( ) +...+ ( ) + ) = − − j t j y t Y e e ϕ y ω 0 ( ) = The differential equations for the circuit which has N independent dynamic elements: C1-5: Analysis of sinusoidal Steady-state Circuit (phasor method) Let: F(jw)=1/H(jw) Y(jw) X(jw) So: ( ) ( ) ( )( ) ( ) X j Yj Xj Hj F j ω ω ω ω ω = = *** Analysis of sinusoidal steady-state circuit phasor method (complex method)