a-L x,,a) ox ox 22:3*n an 为负定矩阵,由定理2可知(x1x2…xn)为g的条件极大值点。它也是∫的唯 条件极大值点,显然它就是∫的条件最大值点。于是∫在约束条件下的最大值为 (a1+a2+…+an a1+a2+…+an 特别地,当a1=a2=…=an=1及a=1时,∫的最大值为 即当 n x1+x2+…+xn=1及x,>0(i=1,2,…,n)时成立 x 对于任意正数y1y2…,yn,只要令 y1+y2 就得到 y 1yx+y2+…+yn=(n yy2…yS2+ 这就是熟知的平均值不等式。 4 注意点 应用 Lagrange乘数法求解条件极值问题,产生的方程组变量个数可能比较大, 似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系(也就 是问题给出的条件),找到解方程组的简便的方法,而不要用死板的方法去解方 程组⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ × 2 2 2 2 2 1 1 21 2 0 0 0 0 00 ),,,,( n n nn n lk x a x a x a xxx xx L L O M M L L λ 为负定矩阵，由定理 2 可知 21 L xxx n ),,,( 为 g 的条件极大值点。它也是 的唯一 条件极大值点，显然它就是 的条件最大值点。于是 在约束条件下的最大值为 f f f ∏= +++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ n i aaa n a n aa a n i n n i aaa a aaa aaa aa 1 21 21 21 21 21 L L L L 。 特别地，当 21 L === aaa n = 1 及 a = 1 时， f 的最大值为 n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 ，即当 21 L xxx n =+++ 1及 i > = L nix ),,2,1(0 时成立 n n n xxx ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 1 21 L 。 对于任意正数 21 L,,, yyy n，只要令 n i i yyy y x +++ = 21 L （ = L,,2,1 ni ）， 就得到 n n i n i nyyy y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∏= +++ 1 1 21 L ， 即 n yyy yyy n n n + + + ≤ L L 21 21 。 这就是熟知的平均值不等式。 4． 注意点 应用 Lagrange 乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较大， 似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系（也就 是问题给出的条件），找到解方程组的简便的方法，而不要用死板的方法去解方 程组。 8