§4.2积分的性质 教学目的本节介绍积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,积分 的不等式性质和积分的绝对连续性等.这些性质都没有涉及到积分号下取极 限的问题,积分取极限的性质讲在下一节介绍 本节要点一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性 质外还具有一些新的性质应注意比较学习本节的内容,除了应了解积分的 基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧 本节所有的讨论都是给定的测度空间(X,分,p)进行的 定理1(i).若∫的积分存在,c是实数,则cf的积分存在,并且 cd=c「f (1) i)若fg的积分存在,并且∫+」gd有意义,则∫+g的积分也存在并且 ∫(+g)d=丁间 fdu+ gdu 特别地,若∫,g可积,则qf和∫+g也可积,并且(1)和(2)式成立 证明(1)当c≥0时,(cf)=q+,(c)=cf.由此知道cf的积分存在.由定理 41.5,我们有 ∫e=jef)d-j()d=Jefd-od=c」m 类似可证当c<0时(1)成立.因此(i)得证 (i).由于 (∫+g)'-(∫+g)=∫+g=f+-f-+g 因此 (∫+g)'+f-+g-=f 上式两边积分并利用§41定理5得到 ∫(+g)d+Jfd+jgd=fd+Jgda+∫(+gd(3) 由于(∫+g)≤∫+g',(+g)≤∫+g,仍由41定理5我们有 ∫(+g)ds∫fdu+Jgd98 §4.2 积分的性质 教学目的 本节介绍积分的一些基本性质, 包括积分的线性性质, 积分 的不等式性质和积分的绝对连续性等. 这些性质都没有涉及到积分号下取极 限的问题, 积分取极限的性质讲在下一节介绍. 本节要点 一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性 质外,还具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容, 除了应了解积分的 基本性质外, 还应注意掌握一些基本的证明技巧. 本节所有的讨论都是给定的测度空间(X, F ,µ) 进行的. 定理 1 (i).若 f 的积分存在, c 是实数, 则cf 的积分存在, 并且 .. ∫ ∫ cfdµ = c fdµ (1) (ii).若 f ,g 的积分存在, 并且 ∫ ∫ fdµ + gdµ 有意义, 则 f + g 的积分也存在并且 ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (2) 特别地, 若 f , g 可积, 则cf 和 f + g 也可积, 并且(1)和(2)式成立. 证明 (i).当 c ≥ 0 时,( ) , + + cf = cf ( ) . − − cf = cf 由此知道 cf 的积分存在. 由定理 4.1.5, 我们有 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − = − = + − + − cfdµ (cf ) dµ (cf ) dµ cf dµ cf dµ c fdµ. 类似可证当c < 0 时(1)成立. 因此(i) 得证. (ii).由于 + − + = + − ( f g) ( f g) . + − + − f + g = f − f + g − g 因此 ( ) ( ) . + − − + + − f + g + f + g = f + g + f + g 上式两边积分并利用§4.1 定理 5 得到 ( ) ( ) . _ f g dµ f dµ g dµ f dµ g dµ f g dµ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + + = + + + + − − + + (3) 由于( ) , + + + f + g ≤ f + g ( ) , − − − f + g ≤ f + g 仍由§4.1 定理 5 我们有 ( ) , ∫ ∫ ∫ + + + f + g dµ ≤ f dµ + g dµ (4)