(m3)=2-120k0(ms3y- 2,知z=0是 的二级极点 z=±kr,z=±ikx(k=1,2,3,…)均为 级极点 2.求证:如果=是f()是m(m>1)级零点,那么二是f()的m-1级零点 证由题知:f(=)=(=-=0)(-),o(=0)≠0,则有 (=)=m(--0)g()+(=-=0)°g()=(-a)y-[mo()+(=--0)( 故=0是f()的m-1级零点 3.验证:z=—是chz的一级零点。 解由cha=cosx=0,(ch)=sha= ISIn-=i,知z=是ch的一级零点。 4.z=0是函数(sinz+shz-2)2的几级极点? A(sin:+sh2-2-)-==0, (sin 2+sh 2-2:)l-0=(cos 2+ch2-2)=0=0 (sinz+$hz-2)=(-sinz+sh)-。=0(sinz+shz-2)"l=(-cosz+ch (in+sh-2y=(sm+sh=)=0sin+sh2-2)1=(osch)n= 故二=0是函数sinz+shz-2z的五级零点,也即为sinz+shz-2)-2的十级极点 5.如果∫()和g(二)是以0为零点的两个不恒等于零的解析函数,那么 lim/(=) im(减或两端均为∞) 证因∫(=)和g()是以二为零点的两个不恒等于零的解析函数,可设∫(二)=(=-=0)(), g(-)=(x-=0(=),(=),v(=)为解析函数,则 f(=)_(-=0)9(-)9(=)f(=)_(-=)+(z-=0)(=) g(=)(--0(二)v(=)g(=)v(=)+(2-=0(=) 故limf() lim p(=) lim f'(=lim )+(=-=0)(=)=1 →g(二)v(=):g(2):av(=)+(2-=0(=)→0(=) f(=)_1f(=) (或两端均为∞) →0g(2)g(=) 6.若q()与v(二)分别以z=a为m级与n级极点(或零点),那么下列三个函数在z=a处各有什 么性质? (1)()(=):(2)o()/w(=):(3)(x)+v(-) 解由题意,9()=(),w()=g(),其中/(),g()在a点解析且/(a)≠0 g(a)≠0( ) 2 2 2 2 0 0 sin | 2 cos | 0 0 z k z k k z z z k = = π π ⎧ = ′ = = ⎨ ⎩≠ ≠ ， 2 0 (sin )'' 2 z z = = ，知 z = 0 是 2 1 sin z 的二级极点， z = ± kπ ， z = ±i kπ （ k =1,2,3,"）均为 2 1 sin z 一级极点。 2．求证：如果 z0 是 f (z) 是 m（ m >1）级零点，那么 z0 是 f '(z)的 m −1级零点。 证 由题知： f ( )z (z z ) (z)， m = − 0 ϕ ϕ( ) z0 ≠ 0，则有 f ( )z m(z z ) ( )z (z z ) (z) m m ' ' 0 1 = − 0 ϕ + − ϕ − (z z ) [m (z) (z z ) (z)] m ' 0 1 = − 0 ϕ + − ϕ − 故 z0 是 f '(z)的 m-1 级零点。 3．验证： i 2 z π = 是ch z 的一级零点。 解 由 i ch cos 0 2 2 π π = = ， i 2 i (ch )' sh isin i 2 2 z z π π π = = = = ，知 i 2 z π = 是ch z 的一级零点。 4． z = 0是函数 2 (sin z sh z 2z) − + − 的几级极点？ 解 0 0 (sin sh 2 ) 0,(sin sh 2 )' (cos ch 2) 0 z z z z z z z z z z = = + − = + − = + − = z=0 ， 0 0 0 (sin sh 2 )'' ( sin sh ) 0,(sin sh 2 )''' ( cos ch ) 0 z z z z z z z z z z z z z = = = + − = − + = + − = − + = z=0 ， (4) (5) 0 0 0 0 (sin sh 2 ) (sin sh ) 0,(sin sh 2 ) (cos ch ) 2 z z z z z z z z z z z z z z = = = = + − = + = + − = + = ， 故 z = 0是函数sin z z + sh − 2z 的五级零点，也即为 2 (sin z sh z 2z) − + − 的十级极点。 5．如果 f (z)和 g z( )是以 0 z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么 0 0 ( ) '( ) lim lim ( ) ( ) '( ) z z z z f z f z → → g z g z = 或两端均为∞ 。 证 因 f (z) 和 g z( ) 是以 0 z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，可设 0 f ( )z z = − ( z z )ϕ( ) ， 0 g z( ) = − (z z )ψ (z)，ϕ( )z ,ψ (z)为解析函数，则 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z z z z z g z z z z z ϕ ϕ ψ ψ − = = − ， 0 0 '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f z z z z z g z z z z z ϕ ϕ ψ ψ + − = + − ， 故 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) z z z z f z z g z z ϕ → → ψ = ， 0 0 0 0 0 '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) lim = lim lim '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) z z z z z z f z z z z z z g z z z z z z ϕ ϕ ϕ → → ψ ψ → ψ + − = + − ，即 0 0 ( ) '( ) lim lim ( ) ( ) '( ) z z z z f z f z → → g z g z = 或两端均为∞ 6．若ϕ (z) 与ψ (z) 分别以 为 m 级与 n 级极点（或零点），那么下列三个函数在 处各有什 么性质？ z = a z = a （1）ϕ ψ ( )z (z) ；（2）ϕ ψ ( )z / (z) ；（3）ϕ( )z z +ψ ( ) 解 由题意， ( ) ( ) ( ) 0 m f z z z z ϕ = − ， ( ) ( ) ( ) 0 n g z z z z ψ = − ，其中 f (z) ， g z( ) 在 a 点解析且 f a( ) ≠ 0， g a( ) ≠ 0。 - 2 -