8 2 Orthogonal Polynomials L-S approximation 设P(x)=a0p0(x)+a1g1(x)+…+an9n(x) 则完全类似地有:如=0→∑(,g)=(91,y),k=0,m,n 即: b=(9,甲) 法方程组 /normal equations"/ n2 定理|m=c在胜一解9(09(,.9(线性无关 证明:若存在一组系数{cx}使得a090+a191+…+ann=0 则等式两边分别与q,q1,…,q作内积,得到: a(9n,9)+a(,%)+…+a(,9)=0即:Ba=0 a0(q0,1)+a1(q1,91)+…+an(qn,q)=0 a0(q0,n)+a1(q1,n)+…+an(qn,n)=0§2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation a k y k n n j k j j ( , ) ( , ) , 0, ... , 0  = = =    设 则完全类似地有： P( x) = a00 ( x) + a11 ( x) + ... + a n n ( x) = 0   ak  法方程组 /*normal equations */ 定理 Ba = c 存在唯一解  0 (x), 1 (x), … , n (x) 线性无关。 即： ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 y y a a b n n ij i j   =   = = c 证明：若存在一组系数 {i } 使得  0  0 +1 1 + ...+ n  n = 0 则等式两边分别与0 , 1 , … , n作内积，得到：        + + + = + + + = + + + = ( , ) ( , ) ... ( , ) 0 . . . ( , ) ( , ) ... ( , ) 0 ( , ) ( , ) ... ( , ) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 n n n n n n n n n                            即：B  = 0 … …