厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名; gdjpkc. xmu. edu.cn 7 Cauchy- Binet公式及其应用(介绍) 定理( Cauchy- Binet公式) 设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵.则 m> n JAB 1A|·|B m 1≤ji<j2<…<jm≤n B 2 定理设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,T是自然数且r≤m,则 (1)若r>n,则AB的任意一个r阶子式全为0. (2)若r≤m,则AB的r阶子式 AB A B k1k2…kr 1<k1<k2<…<kr<n 证明设C=AB,C=(c1)mxm,则c=anbn;+a2by+…+ aining bin b b1 所以C ai21 ai22 aign b2nb2y…b2r 132 Jr 由 Cauchy 公式 当r>n时,C Jr 当r<n时, k1 k2 her 12 k1 k2 1<k1<k2<…<kr 12 r 例(AB)=B*A 证明记M1,N,P分别是A,B,C中第(i,j)个元素的余子式,A1y,B1,C 分别是A,B,C中第(,j)个元素的代数余子式.(AB)*中第(i,j)个元素为C= 1)+P=(-1)+∑=1M1kNA1=∑h=1(-1)+M1k(-1) ailB B*A*的第(,j)个元素.口￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §7 Cauchy-Binet ✑✒✓✔✕✖ (✗✘) ✙✚ (Cauchy-Binet ✛✜) ✢ A ✣ m × n ✤✥✦ B ✣ n × m ✤✥✧★ |AB| =    0 ✩m > n |A| · |B| ✩m = n P 1≤j1<j2<···<jm≤n A  1 2 · · · m j1 j2 · · · jm  B  j1 j2 · · · jm 1 2 · · · m  ✩m < n ✙✚ ✢ A ✣ m × n ✤✥✦ B ✣ n × m ✤✥✦ r ✣ ✪ ✫✬✭ r ≤ m, ★ (1) ✮ r > n, ★ AB ✯✰✱✲✳ r ✴✵✶✷✸ 0. (2) ✮ r ≤ n, ★ AB ✯ r ✴✵✶ AB  i1 i2 · · · ir j1 j2 · · · jr  = X 1≤k1<k2<···<kr≤n A  i1 i2 · · · ir k1 k2 · · · kr  B  k1 k2 · · · kr j1 j2 · · · jr  . ✹✺ ✢ C = AB, C = (cij )m×m, ★ cij = aiab1j + ai2b2j + · · · + ainbnj . ✻✼ C  i1 i2 · · · ir j1 j2 · · · jr  =   ai11 ai12 · · · ai1n ai21 ai22 · · · ai2n · · · · · · · · · · · · air1 air2 · · · airn     b1j1 b1j2 · · · b1jr b2j1 b2j2 · · · b2jr · · · · · · · · · · · · bnj1 bnj2 · · · bnjr   ✽ Cauchy-Binet ✾✶✦ ✩ r > n ✿✦ C  i1 i2 · · · ir j1 j2 · · · jr  = 0. ✩ r ≤ n ✿✦ C  i1 i2 · · · ir j1 j2 · · · jr  = X 1≤k1<k2<···<kr≤n A  i1 i2 · · · ir k1 k2 · · · kr  B  k1 k2 · · · kr j1 j2 · · · jr  . ❀ (AB) ∗ = B∗A∗ . ✹✺ ❁ Mij , Nij , Pij ❂❃✣ A, B, C ❄ ❅ (i, j) ✳❆❇✯❈✵✶✦ Aij , Bij , Cij ❂❃✣ A, B, C ❄ ❅ (i, j) ✳❆❇✯❉✬ ❈✵✶✧ (AB) ∗ ❄ ❅ (i, j) ✳❆❇✸ Cji = (−1)i+jPji = (−1)i+j Pn k=1 MjkNki = Pn k=1(−1)j+kMjk(−1)i+kNki = Pn k=1 AjkBki = B∗A∗ ✯ ❅ (i, j) ✳❆❇✧ 1