Q'Q2∴…,Q,,使得 B,B∴…P'EQ',Q:…Q.=A, 由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质,可以知道A=P',P,…PQ',Q2,…,Q,,必要 性证毕。 充分性若A可以表示成为初等矩阵的乘积,则A=PP2…P=PP2…PE,表示A可 由n阶单位阵经过s次初等变换得到,于是A满秩。证毕。 推论设A是满秩矩阵,对于任意矩阵B,C,有r(AB)=r(B),r(CA)=r(C)(只 乘法有意义) 证明由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积,于是存在初等矩阵P,P2…P,使得 A=fP2…P,于是,AB=P2…PB,由初等矩阵于初等变换的等价关系,AB相当于 对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩,所以r(AB)=r(B);同理, r(CA)=r(C)。证毕。1 2 ' ', ', , ' Q Q Qt ，使得 1 2 ' 1 2 ' ', ', ' ', ', , ' P P P E Q Q Q A s n t = ， 由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道 1 2 ' 1 2 ' ', ', ' ', ', , ' A P P P Q Q Q = s t ，必要 性证毕。 充分性 若 A 可以表示成为初等矩阵的乘积，则 A PP P PP P E = = 1 2 1 2 s s ，表示 A 可 由 n 阶单位阵经过 s 次初等变换得到，于是 A 满秩。证毕。 推论 设 A 是满秩矩阵，对于任意矩阵 B, C ，有 r (AB) = r (B) ，r (CA) = r (C) （只要 乘法有意义）. 证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵 1 2 , , , P P P r ，使得 A PP P = 1 2 r ，于是， AB PP P B = 1 2 r ，由初等矩阵于初等变换的等价关系， AB 相当于 对 B 做 r 次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以 r (AB) = r (B) ；同理， r (CA) = r (C) 。证毕