(5)f()=tan在=3内有一级极点-(k=0,土,±,-3),共6个。故 Resl tan r, k+ 由留数定理 mx=21∑[()2x6( (6)当1<akb时,被积函数在单位圆内解析,故积分为0; 当1a4bk1时,:Res(=am-1ma-(-ay (-1)°(2n-2) (z-a)"(z-b)[(n-1)(a-b)2n Res[f(=), b ]=I (n-1):a(z-b) (-1)(2n-2)! 故积分为0 b)”[(n-1)(b-a) 当|ak1<b时,积分 (n-1)(a-b) 10.判定z=∞是下列各函数的什么奇点?并求出在∞的留数 2 2) cOS=-sin z 解1)可去奇点,∞的留数为零。9()=f(2)=/()=e 2n+1 2)9)=/(x)=)=∑(y 故z=∞为函数的本性奇点,又由于 2n)! =0 (2n+1) cosz-sinz在整个复平面解析,故∞的留数为零。 3) 3+2=(1-+4+…)不含正幂项,故为可去奇点,留数为c1=2 Resf(),oo]= Reslf()-,0]=Res 二(1+3=2) 1.求Re(-)]的值,如果 (1)f()=1 (2)f(=) (二+1)(z-4) 解(1)f()=÷有两个一级极点=1=1.故由全部留数和为零的定理,则 Re()可一R()R(-1]-m+m 2+2=-$h1 (2)f(=) 以z=0为一级极点,z=-1为四级极点,z=4为一级极点,用有限奇点 留数和来求无穷远点的留数,计算过程太麻烦,一般采用直接在z=∞的圆环域(解析)44zk∞内展开 为洛朗级数的方式,则有（5） f ( )z = tanπz 在| | z = 3内有一级极点 2 1 zk = k + （ k = 0,± ± 1, 2,−3），共 6 个。故 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 1 Res tanπ , k = ( ) π π π 1 cos sin 2 1 = − ′ z=k+ z z ，由留数定理 ( ) 1 tan 2 i Res , 2 i 6 12i k C π π zdz f z z π π ⎛ ⎞ = = ⎡ ⎤ ⋅ ⋅⎜ ⎟ − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ v∫ ∑ = − （6）当1 | < < a | | b | 时，被积函数在单位圆内解析，故积分为 0； 当| | a b <| |<1时， 1 1 1 2 1 1 ( 1) Res[ ( ), ] lim ( ) ( 1)! ( ) ( ) [( 1)!] ( ) n n n n n n z a d n f z a z a n dx z a z b n a b − − 2 1 (2 2)! → − n− − − = − = − − − − − 1 1 1 2 1 1 ( 1) Res[ ( ), ] lim ( ) ( 1)! ( ) ( ) [( 1)!] ( ) n n n n n n z a d n f z b z b n dx z a z b n b a − − → − − − − = − = − − − − 2 1 (2 2)! n − b ，故积分为 0； 当| | a < <1 | |时，积分＝ 1 2 2 ( 1) (2 2)! [( 1)!] ( ) n n n n a b − −1 − − − − 10．判定 z = ∞ 是下列各函数的什么奇点？并求出在∞的留数。 1） 2 1 z e ； 2）cosz − sin z ； 3） 2 2 3 z + z 。 解 1）可去奇点，∞的留数为零。 1 2 ( ) ( ) ( ) t t f z f e t ϕ = = = ； 2） 2 2 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) (2 )! (2 1)! n n n n n n z z t f z f t n n ϕ ∞ ∞ + + = = = = = − − − + ∑ ∑ ，故 z = ∞ z 为函数的本性奇点，又由于 cosz − sin 在整个复平面解析，故∞的留数为零。 3） 2 2 4 2 2 3 9 (1 ) 3 z z z z z = − + + + " 不含正幂项，故为可去奇点，留数为 1 c 2 − = 2 2 1 1 2 Res[ ( ), ] Res[ ( ) ,0] Res[ ,0] 2 (1 3 ) f z f z z z z ∞ = = = + 。 11．求 Res[f ( )z ,∞]的值，如果 （1） 1 ( ) 2 − = z e f z z （2） ( 1) ( 4) 1 ( ) 4 + − = z z z f z 解（1） 1 ( ) 2 − = z e f z z 有两个一级极点 z = 1,z = −1, 故由全部留数和为零的定理，则 [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 1 lim 1 Res , Res ,1 Res , 1 lim1 1 − − + ∞ = − − − = − → →− z e z e f z f z f z z z z z = sh1 2 2 1 − + = − − e e （2） ( ) ( ) 1 ( 4) 1 4 + − = z z z f z 以 z = 0 为一级极点， z = −1为四级极点， z = 4 为一级极点，用有限奇点 留数和来求无穷远点的留数，计算过程太麻烦，一般采用直接在 z = ∞的圆环域（解析） 4 <| z |< ∞ 内展开 为洛朗级数的方式，则有 - 5 -