§10.2束缚态微扰论I:简并情形 1.一级微扰能和零级波函数 我们知道,微扰展开是 E=EO+E(+E(2)+ 其中v0和E0应满足 E 所谓EO有简并即是有φ,g…,(k是E的简并度)都满足该方程: r00)=E0C 所以在引入微扰后应 代入一级微扰方程得: (B0-E0)y)=-(m-Em)∑c° 两端乘以0"(=1…,k)再积分,左方仍=0,所以 [o(oio"H o dr -En 5)=0 H1=4r=(91则r949) 则方程成为 EmS)C 这和矩阵形式的本征方程完全一样,所以E由下面的方程决定: det H, -En 6=0, 也就是“长期方程” E 0. 从中可以解出E以及它们对应的C,这就决定了一级微扰能和零级波函数。注意,一般说来E不 但与对角元素Hn有关,而且与非对角元素H(≠有关,但总有k个解。假如E的k个解各不相 同(即方程没有重根),则EO的简并度被完全消除,否则只是部分地被消除。 2. Stark效应 原子能级在静电场中的分裂称为 Stark效应。作为例子,让我们考虑氢原子 设外静电场E沿着正Z轴方向,那么电子就受到了如下的附加势场 H=eEz=eErcose 在未加微扰时,氢原子的能级是 uki 2h2m2 而波函数是 yo()=R,(r)Y(0,1 §10.2 束缚态微扰论 II：简并情形 1．一级微扰能和零级波函数 我们知道，微扰展开是 (0) (1) (2) E E E E n n n n = + + + , (0) (1) (2)     n n n n = + + + , 其中 (0)  n 和 (0) En 应满足 (0) (0) (0) (0) ˆ H E   n n n = . 所谓 (0) En 有简并即是有 (0) (0) (0) 1 2 , , ,    n n nk ( k 是 (0) En 的简并度) 都满足该方程： (0) (0) (0) (0) ˆ . ( 1,2, , ) H E i k   ni n ni = = 所以在引入微扰后应设： . 1 (0) (0) (0) = = k i n i ni  c  代入一级微扰方程得： (0) (0) (1) (1) (0) (0) 1 ˆ ˆ ( ) ( ) . k n n n i ni i H E H E c   = − = − −   两端乘以 (0) ( 1, , ) nj  j k  = 再积分，左方仍 = 0 ，所以 ( ) (0) (0) (0) (1) 1 ˆ 0. k i nj ni n ji i c H d E      =   − =  记 (0) (0) (0) (0) ˆ ˆ , H H d H ji nj ni nj ni          = =  则方程成为 (1) (0) 1 ( ) 0. k ji n ji i i H E c  =   − = 这和矩阵形式的本征方程完全一样，所以 (1) En 由下面的方程决定： (1) det 0, H E ji n ji  − =  也就是“长期方程” (1) 11 12 (1) 21 22 0. n n H E H H H E   −   − = 从中可以解出 (1) En 以及它们对应的 (0) i c ，这就决定了一级微扰能和零级波函数。注意，一般说来 (1) En 不 但与对角元素 Hii  有关，而且与非对角元素 ( ) H i j ij   有关，但总有 k 个解。假如 (1) En 的 k 个解各不相 同（即方程没有重根），则 (0) En 的简并度被完全消除，否则只是部分地被消除。 2．Stark 效应 原子能级在静电场中的分裂称为 Stark 效应。作为例子，让我们考虑氢原子。 设外静电场   沿着正 Z 轴方向，那么电子就受到了如下的附加势场： ˆ H e z e r  =  =  cos .  在未加微扰时，氢原子的能级是 2 4 (0) 1 2 2 , ( 1,2,3, ) 2 n k e E n n  = − = 而波函数是 (0) ( ) ( ) ( , ). nlm nl lm    r R r Y =