Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D Q. Dai, 2003 ds f(t)=Cel tz lim s1≤|sl≤s2- 证:见 DAubechies,pp.28-30 2二进小波变换 在定理3和4中,利用了所有的尺度-∞<s<+∞。若将尺度限制于s>0,对函数v将有严 格一些的要求。即有 du<+∞o (当是实值函数时,由于v(-u)=v(u),故第二个等式自动成立。) 我们有类似于定理3的重构公式 =C/=/w0 若进一步离散尺度s,它只取二进数值s=2(∈2),自然对于函数会有更多的限制 定义:设函数如∈L2(R),若存在正常数A,B(0<A≤B<+∞),使得 ∑l(2-u)|≤B a. e 则称为二进小波( dyadic wavelet) 定理5:设ψ为二进小波,若(9)式成立,则有 Aln 2< dw< B 2 而且,如果A=B,则 dw=2Aln 2 证明:由于 (2-JaLecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 6 f(t) = C −1 ψ1,ψ2 lims1→0 s2→∞ Z ds s 2 s1≤|s|≤s2 Z∞ −∞ < f, ψ1,s,b > ψ2,s,b(t)db 证：见I.Daubechies，pp. 28－30。 2 二进小波变换 在定理3和4中，利用了所有的尺度−∞ < s < +∞。若将尺度限制于s > 0，对函数ψ将有严 格一些的要求。即有 Cψ = Z∞ 0 ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ |ω| dω = Z 0 −∞ ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ |ω| dω < +∞. (当ψ是实值函数时，由于ψˆ(−ω) = ψˆ(ω)，故第二个等式自动成立。) 我们有类似于定理3的重构公式： f = C −1 ψ Z∞ 0 ds s 2 Z +∞ −∞ (W f)(s, b)ψs,b(t)db. 若进一步离散尺度s，它只取二进数值s = 2j (j ∈ Z)，自然对于函数ψ会有更多的限制。 定义：设函数ψ ∈ L 2 (R), 若存在正常数A, B(0 < A ≤ B < +∞)，使得 A ≤ X j ¯ ¯ ¯ψˆ(2−jω) ¯ ¯ ¯ 2 ≤ B, a.e. (9) 则称ψ为二进小波(dyadic wavelet) 定理5：设ψ为二进小波，若(9)式成立，则有 A ln 2 ≤ Z∞ 0 ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ 2 ω dω Z 0 −∞ ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ 2 ω dω ≤ B ln 2. 而且，如果A = B，则 Cψ = Z +∞ −∞ ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ 2 |ω| dω = 2A ln 2 证明：由于 Z 2 1 ¯ ¯ ¯ψˆ(2−jω) ¯ ¯ ¯ 2 ω dω = 2−j+1 Z 2−j ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ 2 ω dω